2007年数学一试题解析(4)

dengxi6489

三、解答题：(17－24小题，共86分. )
    (17) (本题满分11分)
    求函数在区域上的最大值和最小值。
【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
【详解】 因为 ，，解方程：
          得开区域内的可能极值点为.
其对应函数值为
又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.
当，构造拉格朗日函数
   
解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为  
比较函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.
(18) (本题满分10分)
计算曲面积分
              
其中为曲面的上侧。
【分析】本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。

【详解】 补充曲面：，取下侧. 则

              =
其中为与所为成的空间区域，D为平面区域.
   由于区域D关于x轴对称，因此. 又
=
其中.