李永乐谈2004年研究生入学线性代数考题

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今年线性代数共有20个考题，但数学一与数学二有4个题完全一样，另一题的题型仍是一样的.区别仅在方程组未知数的个数是n与4，而数学三与数学四有一个题完全一样，实际
　　上有14个不同的考题，所涉及的知识点有：


　　含参数的3阶、4阶及n阶行列式的计算，通过矩阵方程转换到抽象行列式的计算.
　　矩阵方幂的计算(涉及相似、分块、对角等)、初等矩阵性质的运用、矩阵等价、AB　=　0、正交矩阵几何意义、秩的概念与性质.
　　含参数向量的线性表出、由矩阵秩判断向量组线性相类.
　　齐次、非齐次线性方程组求通解、解的性质的运用、基础解系中向量个数的判定与求法.
　　求矩阵的特征值与特征向量、相似对角化的判定与计算、实对称矩阵特征值性质、由特征向量反求矩阵A.
　　二次型的秩
　　纵观04年考题，难度上比03年略有下降，要重视对基本概念、基本方法及原理的考核，注重知识点的衔接与转换，试题的灵活性有所加强.从阅卷反映出的问题看，有些同学复习备考不扎实、有动手晚仓猝上阵之嫌，有的考生计算能力实在太差，基本计算错误屈层出不穷，也有些同学在概念、原理的理解上有偏差，逻辑推理不严谨，…….下面通过对几个考题的分析，希望对05年考研同学如何复习线代能有所帮助.
　　例1　(04，4)设，，其中P为3阶可逆矩阵，则=______________.
　　[分析]本题考查n阶矩阵方幂的计算.
　　.
　　因为
　　利用分块矩阵的方幂
　　易知
　　从而
　　那么，由有
　　因此
　　故
　　例2　(04，)设矩阵，矩阵B满足，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=_____________.
　　[分析]由于，易具本题|A|　=　3，用A右乘矩阵方程的两端，有
　　又因，故|B|=
　　[评注]填空题难度不大，计算量也不会太大，主要考查考生对基本概念、定义、公式、基本定理、基本性质和基本方法的识记、理解、掌握和简单运用.同时考查快捷准确运算能力和简单推理能力.鉴于此考生在复习时要注重基础，对基本运算要正确熟练.要提高运算能力，不能华而不实，浮燥.
　　例3　(04，)设A，B为满足AB　=　0的任意两个非零矩阵，则必有
　　(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关
　　(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关
　　(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关
　　(D)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关[　]
　　[分析]设A是矩阵，B是矩阵，且AB　=　0，那么
　　由于A、B均非零矩阵，故.
　　由秩的列秩，知A的列向量组线性相关.
　　由秩的列秩，知B的行向量组线性相关.
　　故应选(A)
　　例4　(04，)设n阶矩阵A与B等价，则必有
　　(A)当|A|　=　a时，|A|　=　a
　　(B)当|A|　=　a时，|B|　=　a
　　(C)当|A|时，|B|　=　0
　　(D)当|A|　=　0时，|B|　=　0
　　[分析]所谓矩阵A与B等价，即A经初等变换得到B，而A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的秩.
　　经过初等变换行列式的值不一定相等，也不一定是相反数.例如，若把矩阵A的等1行乘以5得到矩阵B，那么A与B等价，而|A|　=　a时，|B|　=　5a，可知(A)与(B)均不正确.
　　若|A|，说明，而|B|　=　0说明与A、B等价有相同的秩不符.(C)不正确.
　　当|A|　=　a，秩，故秩，那么|B|　=　0，即(D)正确.
　　[评注]选择题主要用于考查考生对数学基本概念、基本方法的掌握程度以及比较、判别能力.还可以用于鉴别考生易于出现的方法和概念性错误.
　　例3把AB　=　0、矩阵的秩、向量组的秩、向量组的线性相关性等概念串联、转换.例4把矩阵等价、行列式、矩阵的秩衔接起来，只有平时重视对概念的复习，多从不同的角度不同的侧面进行思考，接口切入点多了做题才能顺手.
　　例5　(04，3)设,，试讨论当a,　b为何值时
　　(I)不能由线性表示；
　　(II)可由惟一地线性表示，并求出表示式；
　　(III)可由线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式.
　　解设有效使得
　　(≠)
　　记A　=　(　).对矩阵(A、)施以初等行变换，有
　　(I)当a　=　0,　b为生意常数时，有
　　可知，故方程组(≠)无解，β不能由线性表示.
　　(II)当，且时，=3，故方程组(≠)有惟一解，
　　则β可由惟一地线性表示，其表示式为
　　(III)当时，对施以初等行变换，有可知=　2，故方程组(≠)有无穷多解，其全部解为，其中c为任意常数.
　　β可由线性表示，但表示不惟一，其表示式为.
　　例6　(04，)设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.
　　解A的特征多项式为.
　　若是特征方程二重根，则有，解得.
　　当时，A的特征值为2,2,6，矩阵的秩为1，故对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.
　　若不是特征方程的二重根，为完全平方，从而，解得.
　　当时，A的特征值为2,4,4，矩阵的秩为2，故对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.
　　[评注]解答题主要考查考生对数学的基本原理、方法、公式掌握和熟练运用的程度，证明题主要考查考生对数学主要定理、原理的理解和掌握程度.
　　例5线性表出是常规题，方法是基本的.例6考查含参行列式的计算，特征值、相似对角化的理论，综合性较强，从卷面看各种错误(计算的、概念原理的、逻辑上的)还是很多的，我们应看出即使是解答题线性代数题难度适中，正确复习之后完全能拿下，但概念性强，有一定的综合性与灵活性因此复习时要注意对概念的理解，对方法的把握，注意知识的内在联系，要确保基本计算准确熟练.