2007年数学一试题解析(5)

chrisxsy

(19)(本题满分11分)
设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在，使得
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令，则问题转化为证明, 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。
【证明】构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得
，
若，令, 则
若，因，从而存在
，使
在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得
.
再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有
， 即  
(20) (本题满分10分)
设幂级数在内收敛，其和函数y(x)满足


(I) 证明：
(II) 求y(x)的表达式.
【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。
【详解】 (I)记y(x)=, 则代入微分方程有

即   
故有  
即   
(II)由初始条件知， 于是根据递推关系式 有  故
y(x)= ==
(21) (本题满分11分)
设线性方程组
            　　  ①
与方程
                         ②
有公共解，求a的值及所有公共解．
【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解.
【详解】将①与②联立得非齐次线性方程组:
     ③
若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵作初等行变换得:
       .
于是1° 当a=1时，有=2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
，
此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:  ,
所以①与②的全部公共解为，k为任意常数.
2° 当a =2时，有=3，方程组③有唯一解, 此时
，故方程组③的解为:  , 即①与②有唯一公共解: 为.