学数学，要问自己（《十章经》作者２００６年奉献力作）

haohao2046

本人兴趣所至，曾作《十章经》开篇，本想续之，但自认为写得太罗嗦，不太具有可操作性，因此一直没有继续。

受土版抬爱，竟然列为精华（惭愧）。不能不有所表示。

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。

无论写得怎么好的教科书、辅导书和参考书，无论有什么很绝妙的学习技巧，不是自己亲身实践得来的，终不能长久。

对于数学，许多人遇到的一个问题就是“提不出问题”，看到教材一片茫然。背诵概念，背诵公式，再背诵题型……然而，没有对概念的准确理解，做题的时候，许多“转化、变换……”的技巧根本不知道用。
那么，如何阅读教材，尤其是优秀教材，固本求源呢？这里以同济第三版《高数（上）》第一章（要是一上来就用什么“￥％……％￥”概念来吓人就不好了，呵呵）为例，写点个人心得，欢迎批评！

问1：教材里面，哪些是重要的？
答1：寻找关键词，比如“基本、重要、必须注意、……”以及强调型标点“！”
例1：①P37“上面定义中正数ε可以任意给定是很重要的……”——>是极限概念的核心（差值任意小——无限接近——运动）
　　  ②P26,LINE18,”必须注意“——>
          ③P10,用几个式子来表示一个（不是几个！）函数——>指出了分段函数也是一个函数，其隐含了函数的概念本质（对应法则在不同定义域不同 与 对应法则在同一定义域不同是有本质区别的，前者可能是分段函数，后者是不同函数）
——1小时内，把一章的重要内容找出并标记出来，是可以做到的；以后做完题，再返回来标记出题处，看看有多少是重合的。

问2：概念定义都是叙述，如何提出问题来帮助理解？
答2：定义中的关键词，熟悉的“反问”，陌生的“正问”。
例2：函数概念P6。关键词：变量、数集（合）、对应法则。尽管学习“变量、集合”在“对应法则”之前，但可能熟悉的是“对应法则”，因为它的意义明显；“变量”和“集合”就相对陌生了。
因此可以这样问：
        变量，反问——“设X和Y是两个变量”——>“变量就一定是X和Y吗？”——考试中，经常需要把f(x)+g(x)看作自变量，进行变换，从而简化解算。
        集合，反问——“D是一个给定的数集”——>“定义域就是D了？定义域怎么就求得了D？”
       对应法则——对应法则都是可解析的吗？不能解析的话，又是什么情况？——>多半考不到，不过随便想想可能也没多大坏处。


问3：问问自己，教材章节顺序体现了什么逻辑关系？从中提醒我们为什么要学习XXX概念。
答3：在后续章节的推导公式或者概念定义的时候，教材“大摇大摆”地使用前面的内容，就是其逻辑关系。因此，我们也从而知道了，学习XXX概念的用途之一。
例3：$1.5无穷小概念+$1.6极限运算法则。
        有认为无穷小是极限的特殊情况的，我还认为无穷小能够体现极限的本质——无限接近。（教材在P51用“注意”二字提醒注意，并立刻拿出一个定理，说明无穷小与函数极限的关系。令人兴奋的是，居然f(x)=A+α这样简单，后面的运算法则推导可算捡到便宜了，我们背诵运算公式的也算有福了！：）

问4：随便问问。
答4：不懂就问。
例4：间断点P78。教材提出了三种情形：无定义；有定义，无极限；有定义，有极限，但函数值≠极限。
        为什么是这三种捏？
       无极限概念前，静止地看函数；有极限概念后，运动地看函数（无限接近难道可不可以看作运动？）。
无定义——静止中断；
有定义，无极限——静止存在，运动中断；
有定义，有极限，但函数值≠极限——静止存在，运动存在，静止值≠运动趋向值。

问5：为什么这道题我就没有想到“代换”这种“技巧”呢？
答5：概念不熟悉。一说自变量，必谈X、Y；一见f(x)，必称函数。殊不知，f(x)也可看作变量（它本身也是变量，只不过它明示我们，f(x)这个变量是与其他变量相依赖的）。
小学到中学，我们从123到XYZ，现在从中学到大学，尽管不能离开XYZ，但对概念的理解，不能停留在“符号”阶段。

抛砖引玉，随便弄了几个问题，希望对阅读教材有所启发。

WINDFLOWER

路过看了
谢谢数学145分的人