微分中值定理证明中辅助函数的构造（论文）

lingq2080 · 发表于 2005-12-3 22:44:21

微分中值定理证明中辅助函数的构造<o:p></o:p>
<o:p> </o:p>
摘要：本文总结了证明微分中值命题时常用的六种构造辅助函数的方法，并给出了具体的应用.<o:p></o:p>
关键词：辅助函数；原函数；不定积分；罗尔定理<o:p></o:p>
<o:p> </o:p>
Construction of auxiliary function in proving differential mean value theorem<o:p></o:p>
LIANG Hui<o:p></o:p>
(Class 2 Grade 2001, Major of Math. and applied Math., Dept. of Math., <st1:place w:st="on"><st1:PlaceName w:st="on">Huanggang</st1:PlaceName> <st1:PlaceName w:st="on">Normal</st1:PlaceName> <st1:PlaceType w:st="on">University</st1:PlaceType></st1:place>, Huangzhou 438000 Hubei)
Abstract：In this paper, we summarized six methods about construction of auxiliary function in proving differential mean value theorem，and discussed material application of them．
Key words：auxiliary function; original function; indefinite integral; Rolle theorem
<o:p> </o:p>
利用微分中值定理解决问题时，通常需要构造一个辅助函数，由这个辅助函数满足某个中值定理的条件而得到要证明的结论，而构造性方法是高等数学中一个重要的分析技巧，这往往成为解题的难点所在．本文主要介绍证明微分中值命题时常用的六种构造辅助函数的方法．<o:p></o:p>
1 原函数法<o:p></o:p>
此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的<v:shapetype> <v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0"></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1"></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1"></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0"></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:formulas><v:path o:connecttype="rect" gradientshapeok="t" o:extrusionok="f"></v:path><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>换成<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
例1：证明柯西中值定理．<o:p></o:p>
分析：在柯西中值定理的结论<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>中令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，得<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，先变形为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>再两边同时积分得<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>故<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>为所求辅助函数．<o:p></o:p>
例2：若<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>,<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>,<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>,…,<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是使得<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的实数．证明方程<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在（0，1）内至少有一实根．<o:p></o:p>
证：由于<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><o:p></o:p>
并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设<o:p></o:p>
<v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（取<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>），则<o:p></o:p>
1）<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在[0，1]上连续<o:p></o:p>
2）<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在（0，1）内可导<o:p></o:p>
3）<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=0， <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape><o:p></o:p>
故<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，即<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>亦即<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>． <o:p></o:p>
这说明方程<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在（0，1）内至少有实根<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
 2 积分法<o:p></o:p>
对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．<o:p></o:p>
 例3：设<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．证明存在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
分析：结论变形为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，不易凑成<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．我们将<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>换为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，结论变形为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，积分得：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，即<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，从而可设辅助函数为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．本题获证．<o:p></o:p>
例4：设函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>上连续，在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>内可微，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．证明存在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使得：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
证：将<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>变形为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，将<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>换为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，两边关于<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>积分，得： <v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，所以<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，其中<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，由<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>可得<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．由上面积分的推导可知，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>为一常数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的存在是不成问题的．因而令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．<o:p></o:p>
3 几何直观法<o:p></o:p>
此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．<o:p></o:p>
例5：证明拉格朗日中值定理．<o:p></o:p>
<v:shape><v:imagedata></v:imagedata><w:wrap type="tight"></w:wrap></v:shape>分析：通过弦<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>两个端点的直线方程为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>与直线AB的方程之差即函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．<o:p></o:p>
例6：若<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>上连续且<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．试证在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>内至少有一点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的图形曲线必跨越<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>这一条直线，而两者的交点的横坐标<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，恰满足<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．进而还可由图知道，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata><w:wrap type="tight"></w:wrap></v:shape>对<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>上的同一自变量值<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，这两条曲线纵坐标之差<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>构成一个新的函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，它满足<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><0,<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>>0,因而符合介值定理的条件．当<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的一个零点时，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>恰等价于<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．因此即知证明的关键是构造辅助函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
4 常数k值法 <o:p></o:p>
此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：<o:p></o:p>
1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
2）恒等变形使等式一端为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>及<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>构成的代数式，另一端为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>及<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>构成的代数式．<o:p></o:p>
3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中一个端点设为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，相应的函数值改为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
4）端点换变量<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的表达式即为辅助函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
例7：设<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>上连续，在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>内可导，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，试证存在一点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使等式<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>成立．<o:p></o:p>
分析：将结论变形为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，可得辅助函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
例8：设<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>上存在，在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，试证明存在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使得<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
分析：令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，于是有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，上式为关于<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>三点的轮换对称式，令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（or：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，or：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>），则得辅助函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
5 分析法<o:p></o:p>
分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．<o:p></o:p>
例9：设函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使得<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
分析：所要证的结论可变形为：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，即<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，因此可构造函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则对<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>与<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明．<o:p></o:p>
例10：设函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=0，对任意<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．证明存在一点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>为自然数）成立．<o:p></o:p>
分析：欲证其成立，只需证<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>由于对任意<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，故只需证：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>即<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，于是引入辅助函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>（<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>为自然数）．<o:p></o:p>
例11：设函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在区间［0，+<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>］上可导，且有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>个不同零点：<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．试证<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在[0，+<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]内至少有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>个不同零点．（其中，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>为任意实数）<o:p></o:p>
证明：欲证<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在[0，+<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>）内至少有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>个不同零点，只需证方程<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=0在[0，+<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]内至少有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>个不同实根．<o:p></o:p>
因为，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，故只需证方程<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>内至少有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>个不同实根．<o:p></o:p>
引入辅助函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，易验证<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在区间[<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]，[<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]，…，[<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>个区间上应用罗尔定理，得<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，其中<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>且<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><o:p></o:p>
以上说明方程<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在[<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>[<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>…<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>[<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>[0，+<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]内至少有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>个不同实根，从而证明了方程<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=0在[0，+<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>]内至少有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>个不同实根．<o:p></o:p>
6 待定系数法<o:p></o:p>
在用待定系数法时，一般选取所证等式中含<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>的部分为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，再将等式中一个端点的值<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>换成变量<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，这样首先可以保证<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=0，而由等式关系<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=0自然满足，从而保证<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>与<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>之间的关系．<o:p></o:p>
例12：设<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>上的正值可微函数，试证存在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
证明：设<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>容易验证<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape> 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，解得<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，故<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
例13：设函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>上连续，在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>内可导，则在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>内至少存在一点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
证明：将所证等式看作<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，设<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，即<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，若<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>=0，则<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，结论成立；若<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，从而有<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
例14：设<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则存在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
分析：对于此题设<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>作函数<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．应用罗尔定理可得存在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，即<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，从而<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数．<o:p></o:p>
证明：将所证等式变形为<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，设<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，令<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape><v:shape><v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，则<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，使<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，即<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，于是<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>，故<v:shape> <v:imagedata></v:imagedata></v:shape>．<o:p></o:p>
总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数．抓住这两点，即可顺利完成证明．<o:p></o:p>
参考文献<o:p></o:p>
[1] 张家秀．关于构造辅助函数的几种方法[J]．高等理科教育．2003(4)．<o:p></o:p>
[2] 瞿美玲，等．微分中值定理的研究[J]．河南教育学院学报．2003-6．<o:p></o:p>
[3] 张小莉．构造辅助函数的两种方法[J]．湖北工学院学报．2002-9．<o:p></o:p>
[4] 聂洪珍，张翠萍．关于构造辅助函数证明微分中值定理的进一步探讨[J]．鞍山师范学院学报．2003-8．<o:p></o:p>
[5] 王跃恒．关于中值定理证明中辅助函数的构造[J]．数学理论与应用．2003-12．<o:p></o:p>
[6] 李山．微分中值定理及辅助函数[J]．宿州教育学院学报．2001(2)．<o:p></o:p>
致谢：　　在论文的撰写过程中，衷心的感谢吴卫兵老师对我的精心指导！<o:p></o:p>

		自动登录	找回密码
密码			注册

微分中值定理证明中辅助函数的构造（论文）

相关帖子

浏览过的版块