求教陈文灯数学里的两道极限题目

yswwj80

问两个极限的问题： （1） 已知lim (sin6x+xf(x))/x^3 =C,（x趋向于0），求x趋向0时 lim(6+f(x))/x^2 =?
                             (2)   求x趋向无穷大时 lim(x+a)^(x+a)(x+b)^(x+b)/(x+a+b)^(2x+a+b) =?

[ 本帖最后由 virginia_0103 于 2007-3-3 22:53 编辑 ]

ultradc

第一个是用洛必达法则吗？刚开始看，还不怎么会做题，希望能有人给出解答，我也看看，呵呵

zyzzq2004

刚才看了着两个题，应该说还是很基础的题目吧？如果是填空题，第一个可以令(sin6x+xf(x)) =C*x^3（两边都有极限x-->0）则可以得到6*x+xf(x)=c*x^3 即6+f(x)=c*x^2,故本题答案为c.应该很清晰了吧？第二个就是应用a^b=e^(b*ln(a)),本题应用后化简即得  e^((x+a)ln(x+a)+(x+b)ln(x+b)-(2x+a+b)ln(x+a+b))  的极限(x-->无穷大),然后就简单了。由于(x+a)ln(x+a)-(x+a)ln(x+a+b)等于(x+a)ln((x+a)/(x+a+b)).其极限用洛必达法则得  -b.通力可得另外一个是  -a.现在可以得到本题答案是e^(-a-b).如果还有什么不懂，可以QQ414571187

zyzzq2004

上边第一题的解答是错误的，应该是C+36。解答如下：sin(6x)=6x-1/3!*(6x)^3+o(x^n)
用泰勒公式得到。参考考纲解析

weizihan

这样解比较好理解,(6+f(x))/x^2 =(6x+xf(x))/x^3=(6x-sin6x+sin6x+f(x))/x^3
因为lim sin6x+f(x))/x^3=c,所以原式=lim(6x-sin6x)/x^3,再用洛,得36+c

tlcwzy

weizihan,zyzzq2004两位的解法都很好，这类问题用weizihan的方法有一定技巧性，值得借鉴，zyzzq2004的方法用taylor公式是解决无穷小问题的常用方法，何况taylor公式本身的价值也是很高的。