2007年数学一试题解析(6)

wuliumu

(22) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵Ａ的特征值 是Ａ的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.
(I) 验证是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．
(II) 求矩阵Ｂ．
【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的.
【详解】(I) 由 得 ,
进一步      ,   ，
故         


，
从而是矩阵Ｂ的属于特征值的特征向量.
因, 及Ａ的3个特征值 得
B的3个特征值为.
设为B的属于的两个线性无关的特征向量, 又
为Ａ对称矩阵，得B也是对称矩阵, 因此与正交, 即

所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
                 ,

其基础解系为:  ,   , 故可取=, =.
即B的全部特征值的特征向量为: , , 其中,是不为零的任意常数, 是不同时为零的任意常数.
(II) 令=, 则 ，

得            
=
=.
     (23) (本题满分11分)
设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
　　　　      
(I) 求；
(II) 求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度.　
【详解】(I) .
( II) 先求Z的分布函数:
         
当z<0时, ;
当时,
                ；
当时,
                   ；
当时, .
故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度
=