文登数学一函数。极限。连续

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一. 填空题
1．设  , 则a = ________.
解. 可得  =  , 所以 a = 2.
2.  =________.
解.  
  <  <  
所以   <  <  
, (n  )
, (n  )
所以   =  
3. 已知函数       , 则f[f(x)] _______.
解. f[f(x)] = 1.
4.  =_______.
解.  
        =  
5.  =______.
解.  
6. 已知  (  0    ), 则A = ______, k = _______.
解.  
所以  k－1=1990,   k = 1991;   
二. 单项选择题
1. 设f(x)和 (x)在(－ , + )内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x)   0,  (x)有间断点, 则
(a)  [f(x)]必有间断点 (b) [  (x)]2必有间断点 (c) f [ (x)]必有间断点 (d)  必有间断点
解. (a) 反例        ,  f(x) = 1, 则 [f(x)]=1
(b) 反例        , [  (x)]2 = 1
(c) 反例        ,  f(x) = 1, 则f [ (x)]=1
(d) 反设  g(x) =  在(－ , + )内连续, 则 (x) = g(x)f(x) 在(－ , + )内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.
2. 设函数  , 则f(x)是
(a) 偶函数   (b) 无界函数   (c) 周期函数   (d) 单调函数
解. (b)是答案.
3. 极限  的值是
(a) 0     (b) 1    (c) 2    (d) 不存在
解.  
=  , 所以(b)为答案.
4. 设  , 则a的值为
(a) 1    (b) 2    (c)      (d) 均不对
解. 8 =  =  
     =  ,    , 所以(c)为答案.
5. 设  , 则 ,  的数值为
(a)   = 1,   =     (b)   = 5,   =     (c)   = 5,   =     (d) 均不对
解. (c)为答案.
6. 设  , 则当x 0时
(a) f(x)是x的等价无穷小        (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小
(c) f(x)比x较低价无穷小        (d) f(x)比x较高价无穷小
解.  =  , 所以(b)为答案.
7. 设  , 则a的值为
(a) －1    (b) 1    (c) 2    (d) 3
解.  , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.
8. 设  , 则必有
(a) b = 4d    (b) b =－4d    (c) a = 4c    (d) a =－4c
解. 2 =  =  , 所以a =－4c, 所以(d)为答案.
1. 求下列极限
(1)  
解.  
(2)  
解. 令  
=  
(3)  
解.   
     =  
    =  =  .
2. 求下列极限
(1)  
解. 当x 1时,  ,  . 按照等价无穷小代换     
(2)  
解. 方法1：
=  =  
     =  =  
     =  
     =  
     =  
     =  
方法2：
      =  =  
     =  =  
     =  
     =  
     =  
3. 求下列极限
(1)  
解.        
(2)  
解.        
(3)  , 其中a > 0, b > 0
解.        
        =  
4. 求下列函数的间断点并判别类型
(1)  
解.  ,   
所以x = 0为第一类间断点.
(2)  
解.      
显然  , 所以x = 1为第一类间断点;
, 所以x = －1为第一类间断点.
(3)      
解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;
    不存在. 所以x = 1为第二类间断点;
    不存在, 而  ,所以x = 0为第一类可去间断点;
    , (k = 1, 2, …) 所以x =  为第二类无穷间断点.
5. 设  , 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求 ,  .
解.  x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求
     存在. 所以
     . 所以
    0 =  
    =  
    所以  = 1.
     
   =  
上式极限存在, 必须  .
6. 设  , b   0, 求a, b的值.
解. 上式极限存在, 必须a =  (否则极限一定为无穷). 所以
   
    =  .  所以  .
7. 讨论函数      在x = 0处的连续性.
解. 当  时
不存在, 所以x = 0为第二类间断点;
当  时
, 所以  时,在 x = 0连续,  时, x = 0为第一类跳跃间断点.
8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x1 < x2 < … < xn < b, ci (i = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个 , 使   .
证明: 令M =  , m =  . 不妨假定  
所以  m      M
所以存在 ( a < x1       xn < b), 使得  
9. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) =  .
证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0
于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) =  .
10. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0   f(x)   1, 试证在[0, 1]内至少存在一个 , 使f( ) =  .
证明: (反证法) 反设  . 所以  恒大于0或恒小于0. 不妨设  . 令  , 则  .
因此  . 于是  , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个 , 使f( ) =  .
11. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个 , 使
f( ) = g( ).
证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0
于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) =  .
12. 证明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.
证明: 令F(x) = x5－3x－2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0
所以  在(1, 2)内至少有一个 , 满足F( ) = 0.
13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且  , 求  及  .
解.  . 所以
     . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以  在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为
     , 所以  , 所以
     
        =  
     
由  , 将f(x)泰勒展开, 得
     , 所以  , 于是
.
(本题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)