求助：解一道数学题

oakguy

f(x)在[a,b]上二阶可导，f’(a)=f’(b)=0,求在[a,b]上存在一点ζ，使得
|f”(ζ)|>=4|[f(b)-f(a)]/(b-a)^2|
注意：‘代表一阶导数符号     “代表二阶导数符号

oakguy

怎么解啊，大家快点给个方法
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narcissus

把f(x)在a和b处分别用泰勒公式展开，得
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+1/2*f''(&1)(x-a)^2     &1属于（a,x）........1式
f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+1/2*f''(&2)(x-b)^2     &2属于  （x,b）......2式
取  x= (a+b)/2   代入  1和2式，2式相减，得
8 *  f(b)-f(a)/(b-a)^2==f''(&1)-f''(&2)........3式
假设|f''(&1)|<=|f"(&2)|   (反之亦然)
3式2边取绝对值，得
8*|f(b)-f(a)/(b-a)^2|<=|f''(&1)|+|f"(&2)|<=2|f“(&2)|
即   4*|f(b)-f(a)/(b-a)^2|<=|f“(&2)|    这里  &2 属于 （b+a/2,b）也属于 [a,b]
当  |f''(&1)|>|f''(&2)| 时
得  4*|f(b)-f(a)/(b-a)^2|<=|f“(&1)|    这里  &1 属于 （a,b+a/2）也属于 [a,b]
综上所述,命题得证

oakguy

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd

suoyuaner

支持结果



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小脚丫

真是高手啊：：）））