国际关系论坛名师2010数学考研真题难易点评

影音王

主持人：各位网友，大家晚上好，2010年的考研已经结束了，我们今天有幸请到了三位名师，在第一时间点评2010年的考研真题。数学这边我们有请到武忠祥老师，还有我们代数这边的张永怀老师，以及我们张卓奎老师，请各位跟大家打个招呼。
　　主持人：我们今年的考研刚刚结束，就是说从难易程度上来讲我请三位老师分从各自不同的方向上点评2010年的考研数学真题，先请武老师。
　　武忠祥：第一个我个人认为高等数学部分整体上比去年要难一点，但是这个说难一点主要可能是在个别几个题目上，因为它的绝大部分的题目所考的知识点题型方法跟过去还应该是一样的，只是还有那么两三道题所考到了是大纲要求的内容，但是是非重点的。比如说在我们数学一和数学二的卷子里面分别考到两道题，一道关于反常积分，过去从来没考到过。还有一道二重积分写成极限的形成，这样一个知识点过去也是从来没有考过的。那么由于这两道题上去的话，同学们可能会感觉到比较生疏，因为在过去考题里面没有，可能一般辅导书上也没有，所以这个拿到以后可能感觉比较生疏。是这样的话，可能整体的我说的相对来说比较难的就是整体考下来，我的预计分数比去年要稍微低一点。具体反映到考生比较关心的问题就是单科的下线，我想应该比去年低一些，这是一个情况。
　　另外还有个特点就是我们考生10年的考生都知道，2008和2009连着两年我们考研的卷子里面，高等数学都是定理的证明。但是今年的卷子里面没有考定理的证明，又回到了08年以前的命题的模式。实际上特别是考数二和数三的同学，都知道我们今年卷子里边高等数学最难的一道题，最后一道题都考到关于微分简直定理，这跟过去的考的知识点应该是完全一样的。并且这两个题题型我们训练的时候应该多次做了训练。所以我想国际关系论坛的同学，做最后一道难题应该是比较顺手的。
　　还有一个特点就是关于数三和数四，因为去年合到一起，数学四过去不要求级数，只有数三要，所以去年刚合到一起的时候，级数整个这一块只出了一道题，就是四分的题目。这也是命题专家考虑到四对级数不要求，所以去年只考了一道题。今年比较特别的整个级数一道题都没有考，这在过去是没有的，恐怕以后也没有的，因为它是整个一大块的内容。有关高等数学今年试题的一些特点我就先说到这个地方。
　　主持人：请张老师分析一下线代的这一块。
　　张永怀：整体看下来以后，我特别地为国际关系论坛的同学感到高兴，因为各个方面的题型我们实际上都训练过了，尤其是我认为有下面几个方面的问题，如果某些同学没有在我们这个国际关系论坛上过课的话，可能会没接触过类似的训练。比如说我常常强调的这样的方面，我在国际关系论坛的课上把它叫七字方针，矩阵越乘秩越小，我经常把这个东西给同学们做训练，今年我们就派上了大用场。比如我们数学一的第五个题，这个题是涉及到两个矩阵相乘等于单位矩阵，而这个题我模考班讲过一个一模一样的题，矩阵越乘秩越小。可以说30秒钟可以把这个题做出来，非常简单。比如说农学联考的13题，这个题给了一个2乘3的矩阵，它让你填A的转置乘以A的行列式是什么，我们知道它刚好是一个三阶方阵。这个矩阵的秩不超过A矩阵的秩。那么这就是利用矩阵越乘秩越小，这种题都是用秒来计算，根本不在话下。
　　那么再比如我平时上课的时候，常给同学们强调的一个重要的地方，就是关于抽象矩阵可对角化的问题，那么这个问题我们今年特别地有意思，数学一、二、三，包括农学联考有一个惟一的公共考题，这个考题就是涉及到了我说的关于抽象矩阵可不可以对角化的问题，它给了一个四阶矩阵A告诉我们它的秩是等于3，还告诉了一个条件，就是A平方加A是等于0矩阵，然后问我们这个矩阵A跟下面矩阵当中哪一个是相似的。这个问题我平时是经常跟大家训练这个问题，如果这种问题没有做过类似于我在课堂上的训练的话，这个题可能会成为一个难题。我估计这个题今年除了我们国际关系论坛的同学以外，其他的同学丢分概率会大一些。
　　那么这个问题我们国际关系论坛的同学都知道，一个四阶的矩阵A，它的秩是3，立刻可知它有0为特征值，这是非常简单的一件事情。那么这个即使没有上过国际关系论坛的课的同学也会知道，但是接下来它会还有另外的特征值，这个就必须按照张老师给大家介绍的非常简单的办法，我们把这个等式改写A乘A等于负A的样子，然后把这个A矩阵按列分块，代入这个等式当中，我们立刻可以知道A乘A的各列等于负1乘A的各列，A矩阵有负1做特征值，而属于负1有三个线性无关的特征向量，那么我A矩阵还有一个特征值就是0，这样一来这个四阶的矩阵恰好就有四个线性无关的特征向量。于是可以对角化，其相似对角矩阵主对角元恰好为三个负1，一个0。
　　这个题如果没有做过训练，尤其是按列分块的形式，这个题成为一个较难的题。那么矩阵分块也是我上课的时候特别强调的地方，因为我告诉过同学们，这个矩阵分块运算是一个高级手段，很多复杂的问题都可以利用分块运算来解决，这个国际关系论坛的同学体会最深刻。这个题的关键点实际上就在这块，否则的话这个题就成为一个难题了。
　　我还注意到这个题目原题当中它给出的所谓A是对称矩阵，我告诉大家这个条件根本就没有必要。我刚才在分析的时候根本没有A是对称矩阵，这个是老师加强了，没有必要，这是我强调的两个地方。
　　然后今年的考题，数学一的同学我认为如果把张老师的精神都吃透了的话，我觉得绝对不超过20分钟就可以把这个题做完，没有问题。那么数学二的同学有一个题略微繁了一点，实际上也就是数学三的题，就是我们数学二的23和数学三的21题，这是一样的。这个题并不困难，是一个蛮传统的一个类型的问题，但是这个题我认为命题老师没有把数据设计得很好，导致运算量略微偏大，但是不难。
　　然后我还要提醒同学们一个问题，就是关于我们线性代数，实际上从大块来说，所谓的行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型，那么数学一实际上就比二、三，包括农学联考就多了一个所谓向量空间这块的内容，那么数学一刚好又考了一个向量空间的题，这个题就是数学一的第13小题，这个题我认为是送分的题，几秒内就可以解决掉，很简单。其余的各个块的内容在要求上我认为数学一、二、三，包括农学联考的同学基本上是一样的，尤其是今年的农学联考，好几个题跟我们一、二、三的题有的是完全一样，有的是非常相似，所以它们在要求上基本上是一致的。
　　所以我希望将来的下一届的同学在复习的时候要注意到这些特点，不要认为我数学二的内容最少怎么怎么样，实际上线性代数这块就差向量空间，是数学一特别要求的，其他地方大家都是一样的，所以复习的时候要注意这一点。总体感觉线性代数我认为我们国际关系论坛的同学今年能够达到我的要求，就是一分不丢。线性代数我认为是可以做到的。好，我就谈这么多。 主持人：张永怀老师也是从我们个别的题给我们做了一个比较权威的一个解析，我们也请张卓奎老师在概率方面的变化。　　张卓奎：各位同学大家好，以上两位老师把高等数学线性代数做了一些点评，下面就今年的概率统计我也跟大家谈一些体会。拿的这个题之后我们经过分析以后发现，这个是完全按照我们预测的方向来命题的。那么数学一和数学三，包括它的选择填空以及解答都是我们在复习的过程中跟大家复习的重点都复习到。具体表现为我们的数学一当中，最后一道解答题，它的总体是一个离散型随机变量。对应的取值有概率，含有参数，那么取到了一个总体的样本，样本中取1、2、3的个数分别为N1、N2、N3。得到N1、N2、N3的一个线性组合，系数是Ai，那么是Θ的无偏估计量，我们现在要确定Ai的值。那么在确定这个值的时候我们要算它的期望，但是在求这个期望的过程当中，我们可能有些同学就发生困难，原因是这个Ni，一般的情形下我们大家认为它是一个常数。
　　此时我们应该在这个求期望时候，应该把它理解为一个随即变量函数来处理。那么通过这样一个分析渠道，来算这样一个数学期望，根据这样一个无偏性就可以导出我们的数学Ai来。而对其他的来说，包括我们的第7、8选择题和对14填空命题，这样的题我们不需要运算，只需要一看就可以做出我们的选项，这个我们是非常方便的。
　　第22题是一个解答题，这个解答题主要考察联合概率密度函数，在整个平面上积分等于1，但是在计算这个积分的过程当中，可能要用到一个很重要的结果。而这个结果我们曾经在复习的过程当中，特别在最后我们模点的时候，还专门对这个做了一个解析。
　　那么纵观数学一，除了我们的数理统计的第23题，可能大家在转化方面存在一定的问题，可能造成一点点失误之外，其他我们应该再强化再冲刺，在最后我们模点当中所承诺的那样，我们拿多的所有的这些分应该是不成问题的。
　　那么对于数学三同学来说，它的选择题和数学一完全一样，它的第一个解答题，第22题也和数学一一样。不同的在于它的填空和数学一的不一样，这个问题只要知道同分布的随机变量有相同的数字特征，就能看出结果。
　　它的第23题有别于我们数学一的23题，要求其中的随机变量的分布律，这样的命题在我们的强化，在我们的冲刺，在我们的模点当中我就分别就其中的材料不同，那么举了各种各样的例子，而对数学三的同学来说这样的命题一点问题没有。所以我对数学三是感到非常非常满意，而对数学一除了数理统计的23题拿到它的80%以上的分数是没有问题，如果丢分也就是一、二分的问题，这就是关于数学一、数学三对于概率统计中做的一个解析。
　　从考题情况来看，对我们下一届2011年的同学来说，我还想提一点意见，不管我们是强化、冲刺，还是我们的模点，老师所指出的应该是我们考试的倾向，因而希望大家在复习的时候，一定要把握住我们该考什么不该考什么，什么是重点，这样的一种情况希望大家应该好好地把握。一般地来说它不会跑出我们这样一个范围之内，同时还要告诉大家，概率统计学习的时候要重视基本的概念，基本的理论和基本方法，不管选择还是填空还是解答问题当中，非常重要的这么三个基本。关于我们的概率统计我想就这个2010年的考题，它的总体情况以及对应我们2011年的同学期望，应该通过这个考题我们给大家做这样一个说明，希望大家在以后的分析问题当中知道这样一个情况。这就是关于概率统计做这样一些点评。
　　主持人：武老师有没有对2011年的考生做一些指导？
　　武忠祥：第一点就是要打好基础，第二点要全面复习抓好重点，第三点应该是勤动手、勤动脑。关于第一点实际上从我们考卷里边看出，基本概念、基本理论、基本方法始终是检查的重点。另外它是一个基础，没有这个基础别的东西都是空谈，所以首先要打好基础。另外一个就是要全面复习，要抓好重点。那么这个在2010年我们考卷里面，我们非重点的东西并不是一定不考的东西，比如我们刚才前面提到的有的内容，20多年从来没有考，而今年有两个地方拿出来考，这个建议我们同学复习的时候一定要全面，非重点并不代表一定不考，这些东西也要看。只是说重点的东西考得更多一些，所以重点东西要作为重点来复习。所以这一点应该特别注意。那么第三点我觉得就是数学复习跟政治英语还不太一样，它这个学科性质决定了，政治英语有很多东西可能是靠记，数学一些概念理论方法是在理解的基础上，通过一定量的练习才能够熟练地掌握方法，深刻理解一些概念和一些原理，所以一定要勤动手。我们过去碰到很多考生，平时复习的时候做题有一种习惯，就草稿纸上划一下，知道这个题怎么一个思路，很少把题认认真真算一遍，这种考生到后来成绩往往是不太理想的。所以我们建议大家一定要勤动手，一些基本运算一定通过一定量的练习把基本运算的能力练好，因为一个计算题当然最重要是方法的选取，方法选择好。但是也有的题就是说它没有很多一些特殊的方法，就要靠一般方法去算，这个题就考察基本运算能力。平时要不练这个东西，你在考场上肯定是要吃亏，所以我觉得考生应该注意这样三点。
　　另外就是根据我们刚才两个张老师跟我们刚才分析的，实际上我们国际关系论坛的几个老师在讲数学课的时候把握方向应该是非常准确的。所以我觉得我们同学按照我们老师指的方向和方法去认认真真地复习，我相信肯定能取得一个满意的成绩。下面两个张老师再做一些补充。
　　张永怀：实际上今年有一个线性方程组的题，数学一是第20题，数学二是22题，数学三是20题，这三个题实际上是一模一样的。然后在农学联考当中，把这个题稍微地变化了一下，但是实际上最终的问题还是一模一样，甚至数据都是一样的。那么我再最后我告诉同学们，这个线性方程组非常非常重要，只要参加线性代数的考试，不管是结业性的还是选拔性的，方程组一定会直接或者间接地考到。
　　还有一个刚才武老师说的，就是我希望同学们在复习数学的时候，就是不仅是要把动脑子的，要想，然后要看，然后还要一定要练，我们常常老师经常有这种经验，有时候我们课间或者课后的时候，我想两位老师肯定也有这种经验，常常同学个问题来，我说你这个做了没有，这个好像做不出来。然后我们老师给他写，刚写上几笔，同学马上就说我会了，表明他动手的时间还是太缺乏了。就学习数学还是要不光是动脑子，还要看，还要练，要动手，我的体会很深，常常会有学生问这个问题，你刚写两笔，哦，知道了知道了，老师，很不好意思。实际缺乏动手的训练，希望大家多动手。

　　张卓奎：我要说的也是一点点，关于我们的概率统计，那么通过今年的考题我们还可以得到这样的结论，对于它的基本概念，基本理论、基本方法，我们一定要把它掌握好。而在掌握这三个基本的同时，一些重要的结果，一些重要的方法，我们应该特别地注意。比方说在我们的考题当中，我们有关于求已知分布函数就分数律的问题。其实就是说你只要把我这个方法搞清楚之后，不管它怎样变换分布函数，其实都是一样的。所以我强调的是我们学过的一些重要的方法，重要的结果，希望大家把它作为一个很重要的结果记下来。在我们特别处理选择填空的这些题的时候显得尤为方便，我们在考题中得到这样一个体会。其他的我刚才给大家介绍了，概率统计具有这样一个特点，概念性很强，有些方法有时候非常独特，而且解答的过程非常简单。那么这是它的一个特点，所以希望大家掌握这个特点之后，在以后特别是2011年同学们在复习当中需要注意的问题。
　　主持人：感谢三位老师给我们做了一个精彩的点评，希望2011年的考生能够稍做调整，好好备战我们的考试。国际关系论坛也在第一时间在赴试当中做一个指导。