考研数学指导（3）极限概念要体验

dengxi6489

极限概念是微积分的起点。
“浪，浪，啊， 狗”，西出阳关无踪影的老子就体念到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。”祖氏父子用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体念到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。”
朴实的体验延续了一千多年，中国人最终没有升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起至于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。即当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？如果是，则称数a为函数的极限。
自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。
x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。称为“无穷大”。

最直观是，n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；由此体念产生了处理“∞/∞”（无穷除以无穷型）未定式的第一方法，分子分母同除以商式中的最高阶无穷大再求极限。我称之为“化零项法”。
不存在极限的典型之一是波动或震荡。所有的教科书上都选用了“震荡因子”sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在 +1与－1之间上下波动140多次。在x=0的邻近，函数图形就好象是 “电子云”。当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的值的变化。
x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。
更深入一步，要理解高阶无穷小,你就得体念，在同一个过程中，有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。
考研数学还要要求更深刻的体念。
多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（ε–δ语言）。这是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生是很难搞懂的。研究生入学考题中，考试中心只好用更深刻的体念来考极限概念。这就是
“若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，f（x）恒正”
“若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”
这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。
除了上述苻号体念外，能掌握下边简单的数值体念则更好。
若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，函数的绝对值全小于1