考研数学指导（37）欲说《线代》先方程

chrisxsy

大自然中最简单的图形是直线。社会生活中最简单的关系是“成比例”。
据说当年“工x队”进驻清华。有一位队员对“井岗山”群众讲话。开场白说，我们不象你们知识分子弯弯多。我们是“一根肠子通屁眼——直来直去”。一句话笑得满场红28团的钢杆粉丝们捧腹弯腰，花枝乱颤。“直”代表简单，早已融进人们的思维。
初等数学以引入负数为起点，以方程为其重心之一。
最简单的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”。
我永远感谢两位老师。一位是小学老师刘续汉，他的每节历史课不仅讲授生动，而且结尾都是用一首打油诗来总结。启迪我生动活拨地学习。一位是中学老师张堃方。他讲方程那部分时，每次上课都带两块小黑板。预先准备，把列方程的分析步骤写得异常清晰。引导我重视分析建模，在理化课中也主动用上方程。
大学数学中，利用概念计算参数值一类的题目，无非就是利用概念列方程。
由一元一次方程出发，关于方程的研究向两个方向发展：
（1）一元n次方程
（2）n元一次方程组（线性方程组）
大学数学《线性代数》教材有两大板块。第一板块解线性方程组。基本工具是矩阵，核心概念是矩阵的秩，理论重心是“齐次线性方程组解集的构造”。 第二板块是矩阵特征理论基础知识。n 阶方阵A的特征方程是个一元n次方程。
一元n次方程的讨论点为：求根公式，根的个数，根与系数的关系。
一元二次方程有求根公式，在复数范围内有两个根。（二重根算两个根。）有韦达定理显示根与系数的关系。
人们努力探索了大半个世纪，没能找到一元五次方程的求根公式。回头又花几十年，证明了所期盼的求根公式不存在。同时也证明了一元n次方程在复数范围内有n个根。（k重根算k个根。）还同样找到了高次方程的 “韦达定理”。

对线性方程组的讨论则衍生出若干基本理论。可以合称为线性理论。依靠着完美透彻的线性理论，所有的线性问题（线性方程组，线性微分方程组，-----）都得到了解决。
在研究非线性问题时，人们找到了“有限元”，“边界元”等线性化计算方法。但是一个非线性问题用线性化计算方法产生的齐次线性方程组可能有成千上万个方程。这时，方程组的表达方式自然上升为首要问题。
描述一个齐次线性方程  a1x1 + a2x2 + --- + a nx n = 0，实际上只需按顺序写出它的系数组就行了。这就产生了n维向量（a1，a2， --- ，an）.方程组的两种同解变换，即方程两端同乘以一个数与两个方程相加（减），正好是数乘向量与向量加法。
如果是有m个方程的齐次线性方程组，则m个系数行就排成一个m×n阶矩阵。
如果把n个未知量也按顺序排成一个向量，方程的左端 “a1x1 + a2x2 + --- + a nx n”，正好是，系数向量与未知量向量的 “对应分量两两相乘，加在一起”。数学家们把这个计算方式规定为“向量的内积”。进而规定出“矩阵的乘法”。
运用有限元方法转换模型时，要多方交互使用每个节点处的数据。不可避免地会产生一个负面效应。即所得齐次线性方程组中可能有相当数量“多余的”方程。（如果用几个方程的左端作线性组合，可以得到组内别的某个方程，那个方程就会在同解变换中化为恒等式。所以是“多余的”方程。）这就产生了第二个问题：
“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”
由此有相应概念 —— 矩阵的秩，n维向量组的秩。
解决一个复杂的数学问题，往往需要发展一门甚至多门基础理论。人类的最终收获，常常是远远超越问题本身。欧洲历史上有很多理髮师与钟表匠热衷于数学研究。中国民间也有大量的数学爱好者。中国数学协会收到很多诸如证明哥德巴赫猜想之类的民间论文，无人敢于拜读只能束之高阁。作者们责难专家们为什么不能帮帮老百姓。回答曰，解决这样巨难的数学问题，必然需要新的基础理论。没有这个前提，你的证明自然是错的。
实际问题的需要促成了线性理论百花竞艳。柯召先生的开山之作就是一部《矩阵论》。我在本科时是柯先生的钢杆粉丝，企图课余时读完这套书。结果读不到一半，但已收获不浅。考研时有幸读了谢邦杰先生的《线性代数》，谢先生创新的“高矩阵” 方法，让我耳目一新。还读了张远达先生的《线性代数》，张先生主要以行列式为工具。常常在证明一个定理时，出人意料地给出一个辅助行列式，通过计算解决问题。直令我佩服得五体投地。
知道一点实际背景，会感到一切都自然而然。因为需要而创生新的描述方式；因为需要而定义新的概念；因为需要而“规定”集合中的运算；--- 。愿这能有助于你减少一点抽象感。