若b>a>e, 求证 a 的b次方大于b的a次方

rising007 · 发表于 2006-9-9 15:26:01

若b>a>e, 求证 a 的b次方大于b的a次方(求导)

weh_03@163.com

xiaoming1982 · 发表于 2006-9-9 20:10:43

提供一种解法：欲证a^b>b^a,即证b*Ina>a*Inb,即证b/a>Ina/Inb(注：因为b>a>e，所以Ina，Inb均大于1)。设辅助函数F(x)=x/a-Inx/Ina.对其求导，F'(x)=1/a-1/(x*Ina)=(x*Ina-a)/(a*x*Ina)>0.(因为x属于（a,b），Ina>1,所以x*Ina-a>0).F(x)为增函数。故F(x)>F(a)=0,即F(b)>F(a)=0.即b/a-Inb/Ina>0.原式得证

rising007 · 发表于 2006-9-9 22:51:10

谢谢大哥！

xiaoming1982 · 发表于 2006-9-10 21:37:38

小事一桩，不足挂齿。

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若b>a>e, 求证 a 的b次方大于b的a次方

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