2007年数学一试题解析(2)

nicholasxw

(5) 设函数f (x)在上具有二阶导数，且 令,
则下列结论正确的是：
(A) 若，则必收敛.        (B) 若，则必发散.  
    (C)  若，则必收敛.       (D) 若，则必发散.　    [  D  ]
【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】 设f (x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D).

(6)设曲线具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是
(A) .        (B) .  
(C)  .       (D) .　         [  B  ]
【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。
【详解】 设M 、N点的坐标分别为. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：
    ; ;
; .
故正确选项为(B).
    (7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A) .   (B) .
    (C) . (D) .    [  A  ]
【详解】用定义进行判定:令
，
得       .
因线性无关，所以  
又               ，
故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
     (8) 设矩阵, , 则A与B
     (A)合同, 且相似.                 (B) 合同, 但不相似 .
    (C)不合同, 但相似.               (D) 既不合同, 又不相似.           [  B  ]
【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1，从而A与B不相似.
又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .
(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A) ．　　　　(B) .
(C) ．　　   (D) ．                    [  C  ]
【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：.  故选(C) .