下载：2005年概率原命题组概率负责人周概容老师2005考研概率讲义

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原命题组概率负责人周概容老师2005考研概率讲义

一、随机事件和概率

数学一、数学三和数学四的考试大纲、内容和要求完全一致．

Ⅰ  考试大纲要求

㈠ 考试内容 　
随机事件和样本空间  事件的关系与运算   完备事件组  概率的概念  概率的基本性质  古典型概率  几何型概率  条件概率  概率的基本公式  事件的独立性  独立重复试验
㈡ 考试要求  事件及其概率的基本概念、基本公式和求事件概率的方法．
1、了解基本事件空间（样本空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算及其基本性质；
2、理解事件概率、条件概率的概念和独立性的概念；掌握概率的基本性质和基本运算公式；掌握与条件概率有关的三个基本公式（乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式）．
3、掌握计算事件概率的基本计算方法：
(1) 概率的直接计算：古典型概率和几何型概率；
(2) 概率的推算：利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性，由较简单事件的概率推算较复杂事件的概率．
(3) 利用概率分布：利用随机变量的概率分布计算有关事件的概率．
4、理解两个或多个（随机）试验的独立性的概念，理解独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点，以及重复伯努利试验中有关事件概率的计算．

Ⅱ  考试内容提要

㈠ 随机试验、随机事件与基本事件空间（样本空间）
随机试验——对随机现象观测；样本点（基本事件） ——试验最基本的结局，基本事件空间（样本空间） ——一切基本事件（样本点） 的集合．随机事件——随机现象的每一种状态或表现，随机试验结果；必然事件 ——每次试验都一定出现的事件，不可能事件 ——任何一次试验都不出现的事件．
事件常用前面几个大写拉丁字母 表示；有时用 表示事件，这时括号中用文字或式子描述事件的内容．
数学上，事件是基本事件（样本点）的集合；全集 表示必然事件，空集 表示不可能事件．任何事件A都可视为基本事件空间 的子集： ．
㈡ 事件的关系和运算
1、定义  关系：包含，相等，相容，对立；运算：和（并）、差、交（积）．
(1) 包含   ，读做“事件 包含 ”或“ 导致 ”，表示每当 出现B也一定出现．
(2) 相等   ，读做“事件 等于 ”或“ 与 等价”，表示 与 或同时出现，或同时不出现．
(3) 和  或 ，表示事件“ 与 至少出现一个”，称做事件“ 与 的和或并”；特别，
   或   
表示事件“ 至少出现一个”．
(4) 差 或 ，表示事件“ 出现但是 不出现”，称做 与 的差，或 减 ．
(5) 交  或 ，表示事件“ 与 同时出现”，称做 与 的交或积；特别，
    或   
表示事件“ …, 同时出现”．
(6) 相容  若 ，则称事件“ 和 相容”；若 ，则称“事件 与 不相容”；
(7) 对立事件  称事件 和 互为对立事件，若 ，即 { 不出现}．
(8) 完备事件组   构成完备事件组，若
．
换句话说，如果有限个或可数个事件 两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组．
(9) 文氏图  事件的关系和运算可以用所谓文氏图形象地表示出来（见图1.1，题中的矩形表示必然事件 ）．

               
                        
                A+B        A－B        AB
   

                        
              A B                 

                         图1.1  文氏图

2、事件运算的基本性质  对于任意事件A, B, C,  ，有
(1) 交换律           ．
(2) 结合律         ；
  ．
(3) 分配律             ；
．
(4) 对偶律
          ；

㈢ 概率的概念和基本性质
1、概率的概念  事件的概率——事件在随机试验中出现的可能性的数值度量．用 表示事件A的概率，用 表示事件 的概率．
事件B关于A的条件概率定义为
．                       (1.1)
2、概率的运算法则和基本公式
(1) 规范性   ．
(2) 可加性  对于任意有限或可数个两两不相容事件 ，有
．
(3) 对立事件的概率   ．
(4) 减法公式   ．
(5) 加法公式   ；

(6) 乘法公式  

(7) 全概率公式  设 构成完备事件组，则对于任意事件A，有
．
(8) 贝叶斯公式  设 构成完备事件组，则
．

㈣ 事件的独立性和独立试验
1、事件的独立性  若 ，则称事件 和 独立；若事件 之中任意m 个事件的交的概率都等于各事件概率的乘积，则称事件 相互独立．
2、事件的独立性的性质  若事件 相互独立，则其中
(1) 任意  个事件也相互独立；
(2) 任意一个事件，与其余任意  个事件运算仍独立；
(2) 将任意  个事件换成其对立事件后，所得 个事件仍独立．
3、独立试验  称试验 为相互独立的，如果分别与各个试验相联系的任意 个事件之间相互独立．
(1) 独立重复试验  独立表示“与各试验相联系的事件之间相互独立”，其中“重复”表示“每个事件在各次试验中出现的的概率不变”．
(2) 伯努利试验  只计“成功”和“失败”两种对立结局的试验，称做伯努利试验．将一伯努利试验独立地重复作 次，称做 次( 重)伯努利试验，亦简称伯努利试验．伯努利试验的特点是，1）只有两种对立的结局；2）各次试验相互独立；3）各次试验成功的概率相同．设 是 次伯努利试验成功的次数，则
  ．               (1.2)

㈤ 事件的概率的计算
1、直接计算  古典型和几何型；
2、用频率估计概率  当 充分大时，用 次独立重复试验中事件出现的频率，估计在每次试验中事件的概率；
3、概率的推算  利用概率的性质、基本公式和事件的独立性，由简单事件的概率推算较复杂事件的概率；
4、利用概率分布  利用随机变量的概率分布，计算与随机变量相联系的事件的概率（见“二、随机变量及其分布”）．

㈥ 随机抽样和随机分配  在概率计算中常要用到以下模型．
1、简单随机抽样  计算古典型概率时，需要计算基本事件的总数和事件包含的基本事件的个数．自有限总体的随机抽样模型有助于完成运算．设 含 个元素，称 为总体．自总体 的抽样称做简单随机抽样，如果各元素被抽到的可能性相同．有4种不同的简单随机抽样方式：
(1) 还原抽样  每次从 中随意抽取一个元素，并在抽取下一元素前将其原样放回 ．
(2) 非还原抽样  凡是抽出的元素均不再放回 ．
(3) 有序抽样  既考虑抽到何元素又考虑各元素出现的顺序．
(4) 无序抽样  只考虑抽到哪些元素不考虑各元素出现的顺序．
还原与非还原及有序与无序，这四种情形的组合产生四种不同的简单随机抽样方式．表1-1列出了在每种抽样方式下各种不同抽法(基本事件)的总数．

表1-1  四种抽样方式下不同抽法的总数
自含N个元素的总体 的n次简单随机抽样        抽样方式        不同抽法的总数
        还原        有序         
                无序         
        非还原        有序         
                无序         

2、随机分配  即将n个质点随机地分配到N个盒中，区分每盒最多可以容纳一个和可以容纳任意多个质点，以及质点可辨别和不可辨别等四种情形，对应四种分配方式．各种分配方式下不同分法的总数列入表1-2．

表1-2  四种分配方式下不同分法的总数
将n个质点随机地分配到N个盒中        分配方式        不同分法的总数
        每盒可容纳任意个质点        质点可辨         
                质点不可辨         
        每盒最多容纳一个质点        质点可辨         
                质点不可辨         

自有限总体 的n次简单随机抽样，相当于将 个质点随机地分配到 盒中：每一个质点在N个盒中“任意选择一个盒子”；“还原”相当于“每盒可以容纳任意多个质点”，“非还原”相当于“每盒最多可以容纳一个质点”；“有序”相当于“质点可辨别”，“无序”相当于“质点不可辨别”．

Ⅲ  典型例题
〖填空题〗
例1.5（古典型概）  在4张同样的卡片上分别写有字母D，D，E，E，现在将4张卡片随意排成一列，则恰好排成英文单词DEED的概率p =  1/6  ．
分析  这是一道古典型概率的小计算题．4张卡片的全排列有4！=24种，其中恰好排成英文单词DEED的总共4种：两个字母D交换位置计2种，两个字母E交换位置计2种．因此，所求概率为
．
例1.8（古典型概率）  铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区 , 和 的各2，3和4节车皮，则发往同一地区的车皮恰好相邻的概率p=  1/210  ．
分析 1）(古典型) 设 =｛同一地区的车皮相邻｝； ={发往 的车厢相邻}( )．
将发往 , 和 车皮各统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻的总共有3!=6种不同情形，其中每种情形对应 ， 和 的一种排列．６种不同情形都是等可能的，如 是其中一种可能的情形，即“发往 的２节车皮编在最前面，发往 的３节车皮编在中间，发往 的４节车皮编在最后面”．由(1,3)式，有

2）(乘法公式)  计算概率P 亦可利用乘法公式：

例1.12（条件概率）  设在10件产品中有4件一等品6件二等品．现在随意从中取出两件，已知其中至少有一件是一等品，则两件都是一等品的条件概率为      1/5     ．
分析  设A＝｛两件中至少一件一等品｝，B＝｛两件都是一等品｝．易见
AB=B,  P(AB) = P(B)．  
于是，所求条件概率为       ．
例1.14 (独立试验)  对同一目标接连进行3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为7/8，则每次射击命中目标的概率p =     0.5        ．
分析  引进事件A i＝｛第i次命中目标｝（i＝1,2,3）．由条件知，事件 相互独立，且其概率均为p．已知3次独立重复射击至少命中目标一次的概率为

由此得p=0.5．
例1.15（独立重复试验）  设事件A在每次试验中出现的概率为p, 则在n次独立重复试验中事件A最多出现一次的概率P= ．
分析  引进事件 =｛第i次试验出现 ｝（i＝1,2,…,n）．事件 相互独立且每个事件的概率均为p．设Bk={在n次独立重复试验中事件A恰好出现k次}(k=0,1)，则


〖选择题〗
例1.20  设A, B和C是任意三事件，则下列选项中正确的选项是
(A) 若 ,则 ；(B) 若 ,则 ．
(C) 若 ,则 ；    (D) 若 ,则 ．   [D]
分析  本题既可以用直选法，也可以用排除法．(1) 直选法．由事件运算的对偶律，有 ．而由 且 ，可见A和B互为对立事件，即 ，因此（D）正确．
(2) 排除法．前三个选项都不成立，只需分别举出反例．例如，由于 是三任意事件，若取 而 是必然事件，则 且 但 ，从而命题（A）和（B）不成立．设 ，则 但 ，从而命题（C）不成立．
注意，该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处．

〖解答题〗
例1.33 (随机抽样)  假设箱**有n个球，其中m（0≤m≤n）个是红球其余是白球．现在一个接一个地接连从箱中抽球，试求第k(1≤k≤n)次抽球抽到红球的概率p．
分析  引进事件 ={第k次抽球抽到红球}(1≤k≤n)．对于还原抽样，显然
．
对于非还原抽样有同样结果．问题有多种解法．
解法1  设想将n个球一一编号．这样，不但区分球的颜色，而且区分球的编号．假如将n个球一个接一个（非还原）地接连从箱中抽出，则不同抽法（基本事件）的总数为n!．导致事件 的不同抽法有(n－1)!×m种，即 共包含 个基本事件：在第k次抽球抽到红球的情形共有m种，其余n－1次抽球不同抽法的总数等于从(n－1)!．从而
．
解法2  仍将n个球一一编号．从n个不同的球中接连抽出k个球，相当于从n个元素中选k个元素的选排列．因此总共有

种不同抽法，即基本事件的总数为 ．导致事件 的不同抽法有

种，即 共包含 个基本事件：第k次抽球抽到红球的情形共有m种，前 次抽球的不同抽法的总数等于从 个元素中选 个的选排列数．于是
．
解法3  对于同颜色球不加区分．设想有n个格子依次排成一列（见插图）



将n个球分别放进n个格子(每格一球)且使m个红球占据m个固定的格子，总共有 种不同放法，即基本事件的总数为 ：在第k格中放一红球，然后从其余 个格子选 个放其余红球，总共有 种放法，即 共包含 个基本事件．因此
．
例1.34（配对问题）  假设四个人的准考证混放在一起，现在将其随意地发给四个人．试求事件A＝{没有一个人领到自己准考证}的概率p．
解  引进事件：Ak={第k个人恰好领到自己的准考证}(k = 1,2,3,4)．那么，

显然，每个人领到自己准考证的概率等于1/4，即
P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝ ．
四个人各领一个准考证总共有4!种不同情形．四个人中任何两个人(例如第一个人和第二个人)都领到自己准考证总共有1×1×2×1＝2 种不同情形（第一个人和第二个人各有一种选择，对于第三个人剩下两种选择，对于第四个人最后只剩下一种选择）．因此
(1≤i<j≤4)．
若四个人中任何三个人（例如，第一、第二和第三人）都领到自己准考证，则第四人自然也领到自己的准考证．因此

例1.39（条件概率） 假设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为３份、7份和５份．现在随机抽取一个地区的报名表，并从中先后随意抽出两份．
(1)        求先抽出的一份是女生表的概率p；
(2)        已知后抽出的一份是男生表，求先抽出的一份是女生表的概率q．
解  引进事件：Hj={报名表是第j地区考生的}(j= 1,2,3)；Ai={第i次抽到的是男生表}(i=1,2)．由条件知： ；

(1) 由全概率公式，得

(2) 由条件知

由全概率公式，得

例1.40（贝叶斯公式）  假设一个人在一年内患感冒的次数X服从参数为5的泊松分布；正在销售的一种药品A对于75%的人可以将患感冒的次数平均降低到3次，而对于25%的人无效．现在有某人试用此药一年，结果在试用期患感冒两次，试求此药有效的概率 ．
解  以X表示一个人在一年内患感冒的次数．引进事件： ={服药无效}， ={服药有效}．由条件知，X服从参数为5的泊松分布；对于 ，有

例1.42 (试验次数) 设P(A)= p．接连不断地独立地重复进行试验，问为使事件A至少出现一次的概率不小于Q(0<Q<1)，至少需要进行多少次试验？
解  设所需试验的次数为n， Bn=｛n次试验中A至少出现一次｝， Ak=｛第k次试验中出现A｝， 则Bn= A1+A2+…+A n ，P(Ak)= p，且A1, A2,…,A n相互独立．

例如，p = 0.15，Q =0.95，则

即为使事件A至少出现一次的概率不小于0.95，至少需要进行n = 19次试验．
例1.44（独立性）  将一枚完备对称和均匀的硬币接连掷n次．引进事件： {正面最多出现一次}，  {正面和反面各至少出现一次}．
试就n = 2，3和4的情形讨论事件 和 的独立性．
解  以 表示“将硬币掷n次正面恰好出现的次数”．易见

显然 服从参数为 的二项分布．需要就n = 2，3和4的情形讨论 的条件

当n≥2时，由 ，可见
．
事件 和 独立，当且仅当
．
由此可见，事件 和 独立的充分必要条件是
．
由于上式当n=3时成立，故当n＝3时事件 和 独立；但上式当n=2和4时不成立，从而当n=2或4时事件 和 不独立．

〖证明题〗
例1.48（独立性）  对于任意二事件 和 ，其中0＜P(A), P(B)＜1，称

为事件 和 的相关系数．试证明，
(1)  ；  
(2)  是二事件 和 独立的充分和必要条件．
证明  记P(A) = p ,P(B) = q，P(AB) = r．考虑两随机变量 ：

其概率分布为：
．
此外，显然随机变量 只有0和1两个可能值，并且
．
易见，随机变量 的数字特征为：

因此，事件 和 的相关系数就是随机变量 的相关系数：
．              （*）
1) 由随机变量的相关系数的基本性质知 ．
2) 必要性  假设事件 和 独立．因为根据条件 ，即r=pq ，故由(*)可见 ＝0．
充分性  假设 ＝0，则由(*)可见r=pq，即 ．
例1.49（独立性）  对于任意二事件 ，考虑二随机变量

试证明随机变量 独立的充分与必要条件，是事件 相互独立．
证明  记 ，而 是 的相关系数．易见，随机变量 都服从0-1分布，并且

(1) 必要性．设随机变量 独立，则

从而，事件 相互独立．
(2) 充分性．设事件 相互独立，则 也都独立，故

从而，随机变量 独立．
例1.51（独立性） 假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有a1，a2，a3，而另一张上同时印有a1，a2，a3．现在随意抽取一张卡片，以Ak=｛卡片上印有ak｝．证明事件 两两独立但三个事件不独立．
证明   
由于对任意 ,有
，
可见事件 两两独立．但是，由于
，
可见事件 不独立



二、随机变量及其概率分布

这一部分，数学一、数学三和数学四的内容完全一致．

Ⅰ、考试大纲要求

㈠ 考试内容  随机变量  随机变量的分布函数的概念及其性质  离散型随机变量的概率分布  连续型随机变量的概率密度  常见随机变量的分布  随机变量函数的分布

㈡ 考试要求  概率分布的概念，常用概率分布，随机变量函数的分布．
(1) 理解概率分布的概念，掌握其三种基本形式：离散型概率分布，连续型概率密度，分布函数；掌握概率分布的特点、性质，会根据概率分布计算有关事件的概率；
(2) 掌握下列概率分布：0-1分布、二项分布、超几何分布和泊松分布等离散型概率分布，以及均匀分布、指数分布和正态分布等连续型概率分布，包括分布的表达式、特点、性质、数字特征和典型应用，以及与其他分布的关系；
(3) 理解0-1分布、二项分布、超几何分布和泊松分布等离散型概率分布之间的关系；
(4) 会根据随机自变量的分布，求其函数的分布的方法．

Ⅱ  考试内容提要

㈠ 随机变量及其概率分布
1、基本概念  (1) 随机变量  随机变量，直观上指取值带随机性的变量，数学上指基本事件（样本点）的函数．实际中遇到的随机变量有离散型和连续型两大类：可能值个数有限或可数的随机变量称做离散型的；连续型随机变量的值域是数轴上的有限或无限区间．通常用后面几个大写拉丁字母（如 ）表示随机变量．
(2) 概率分布  随机变量X的概率分布，指它的“值域”及它取各可能值或在值域内各部分取值的“概率”二者的总称．实际中遇到的概率分布有离散型和连续型两大类，分别描绘离散型和连续型随机变量．
2、离散型随机变量的概率分布  设X是离散型随机变量， 是它的一切(m个或可数个)可能值的集合．离散型随机变量X的概率分布有如下一些常用的表示方法．
；
．
其中 ， ．对于任意实数a<b , 有
  ，             (2.1)
其中Σ表示对于满足 的一切 求和．
3、连续型随机变量的概率密度  连续型随机变量X的概率分布，由一非负函数 ——概率密度函数决定：对于任意实数 ，有
．                  （2.2）
严格地说，只有有概率密度的随机变量才称做连续型的．
概率密度 的基本性质是：
．
此外，任意连续型随机变量 取任何给定值 的概率等于 ： ．
4、随机变量的分布函数  分布函数可以描绘任何随机变量的概率分布．不过，有简单的函数式的分布函数很少，因此分布函数不便用于处理具体的随机变量，多用于一般性研究．
(1) 定义  随机变量 的分布函数定义为 ．它在点 处的值，是事件 的概率，即 在 上取值的概率．
(2) 性质  性质1)～3)为基本性质．
1)  ，是单调不减函数；
2)  右连续： ．
3)  = =0，  = =1．
4) 根据分布函数求事件的概率，例如
    (2.3)
5) 连续型随机变量X的分布函数为
，                (2.4)
其中 是 的概率密度．连续型随机变量的分布函数是连续函数，对于几乎一切 ，有
．                       (2.5)
6) 离散型随机变量X的分布函数为
，            (2.6)
其中Σ表示对于不大于 的一切 求和．离散型随机变量的分布函数是阶梯函数．

㈡ 常用概率分布
1、常用概率分布表  考试大纲要求掌握的离散型概率分布有：0-1分布，二项分布，超几何分布和泊松分布，考试大纲要求掌握的连续型概率分布有：均匀分布，正态分布和指数分布．
表2.1  常用离散型概率分布（ ）
分布名称        P{X=k}        可 能 值k        参  数        数学期望        方   差
0-1         和         1和0                           
二项                 0,1,…,         n，                  
超几何                 0,1,…,                           
泊松                 自然数                           

表2.2  常用连续型概率分布
分布名称        概率密度        值域        参  数        数学期望        方   差
均匀                          a，b                  
正态                                             
指数                                            1/

2、常用概率分布的典型应用
(1) 0-1分布  只有“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努利试验；伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数 ——成功的概率， ——失败的概率．例如产品抽样验收：抽到不合格品——成功，抽到合格品──失败；射击：命中──成功，脱靶──失败……
(2) 二项分布  以 表示X服从参数为 的二项分布．
1) 独立重复试验成功次数的分布  设X是n次伯努利试验成功的次数，则 ，参数 是每次试验成功的概率．例如，n次独立重复射击命中的次数X服从二项分布，参数 是每次射击的命中率．
2) 自有限总体的还原抽样  设总体 含N个个体，其中M个具有某种特征A（如不合格品）．设X是n次还原抽样具有特征A的个体出现的次数，则 布，其中 （如不合格品率）．
(3) 超几何分布  设总体 含N个个体，其中M个具有特征A，则n次非还原抽样具有特征A的个体出现的次数X服从参数为 的超几何分布．
(4) 泊松分布  1) 二项分布概率的近似计算  设 服从二项分布，参数 充分大、p充分小而 p适中，则有如下近似公式——泊松定理：
        (2.7)
实际中，当 时即可利用此式，不过 应尽量地大，否则近似效果不佳．
2) 随机质点流  我们把源源不断地出现在随机时刻的质点形成的“流”称做随机质点流．例如，到达商店的顾客、用户对商品质量的投诉、暴雨、交通事故、重大刑事案件、大震后的余震、设备的故障LL所形成的随机质点流．以 表示在长为 的时间内出现的随机质点的个数，则 服从参数为 的泊松分布：
，              (2.8)
其中 是单位时间出现的随机质点的平均个数，称做质点流的强度．
(5) 均匀分布  几何型概率的数学描述．向区间 上均匀地掷随机点试验，产生均匀分布．区间 上均匀分布的分布函数有简单的表达式
                      (2.9)
(6) 指数分布  设 是在服从参数为 的泊松分布的随机质点流中，相继出现的两个随机质点时间间隔——等待时间（例如，设备无故障运转的时间、设备的使用寿命或维修时间、设备相继出现两次故障的时间间隔LL），则等待时间 服从参数为 的指数分布．参数为 的指数分布函数有简单的数学表达式
                  (2.10)
(7) 正态分布  以 表示随机变量X服从参数为 的正态分布．以 和 分别表示 的概率密度和分布函数，附表1是 的数值表； ．附表2的最下边一行是标准正态分布的水平 双侧分位数 （见附表2），满足
．                  (2.11)
1）对于任意常数a和 ，若X～ ，则 ；
2）若X～ 和Y～ 相互独立，则
；
3）许多自然现象和社会现象都可以用正态分布律来描述．许多概率分布的极限分布是正态分布（中心极限定理）．
4）许多重要分布，如 分布， 分布和 分布都是正态变量的函数的分布．
3、 常用概率分布之间的关系
(1) 与二项分布的关系  
1) 设随机变量 独立且都服从参数为p的0-1分布，则
~ ．
2) 泊松定理  设 ，则当 充分小而n充分大且 适中时，X近似服从参数为 的泊松分布．
3) 棣莫弗-拉普拉斯定理  设 ，则当n充分大时， 近似服从正态分布 ．
4) 自有限总体的非还原抽样产生超几何分布，而还原抽样则产生二项分布．当总体容量 和抽样次数 充分大，但 相对N较小时，超几何分布和二项分布的概率相近：
，               (2.12)
其中p = M / N．实际中，当 和抽样次数 充分大且 时可以利用此近似公式．
(2) 与正态分布的关系
1) 许多重要分布，如 分布， 分布和 分布都是正态变量函数的分布．
2) 许多概率分布的极限分布是正态分布．例如，若 ，则当 充分大时近似服从正 态分布（棣莫弗-拉普拉斯定理）．
3) 在相当广泛的条件下，大量独立同分布随机变量之和近似服从正态分布（列维-林德伯格定理）．
㈢ 随机变量的函数的概率分布
设 , 其中 是连续函数或分段连续函数．要求根据 的概率分布求 的概率分布．
1、一般情形  设法将 的概率分布通过 的概率分布表示：
．
用这种方法，在许多情形下可以求出的概率分布．
2、离散型情形  若已知 ，且函数 的一切可能值两两不等，则 (i =1,2,…)就是Y的概率分布，否则将各相等的 值对应的概率相加，即可得到的概率分布．
3、连续型情形  一般，先求的 分布函数 ，再对 求导数，即可得到的概率密度f (y)．
特别，设 是严格单调的连续函数， 是函数 的值域， 是 的惟一反函数； 是连续型随机变量，其概率密度为 ，则 也是连续型随机变量，其概率密度 通过 表示为
              (2.13)

Ⅲ、典型例题分析
〖填空题〗
例2.4（连续型分布）  假设X是在区间（0,1）内取值的连续型随机变量，而 ．已知 ，则满足 的常数k=      ．

例2.11（泊松分布）  设一本书的各页的印刷错误个数X服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p=                ．
分析  以X表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以 表示随意抽取的第k页上印刷错误的个数，由条件知X和 服从同一泊松分布，未知分布参数 决定于：

于是 =2．由于随机变量 显然相互独立，因此

例2.12（分布函数）  设10件产品中恰好有2件不合格品，从中一件一件地抽出产品直到抽到合格品为止，则最后抽出产品件数X的分布函数为      ．
分析  先求X的概率分布．易见，X有1,2,3等3个可能值，且

于是，X的分布函数为

例2.18（由分布函数求事件的概率）  设随机变量X的分布函数为

则P =                ．
．
〖选择题〗
2.19（分布函数）  设随机变量X和Y相互独立，其分布函数相应为 和 ，则随机变量 的分布函数为
(A)  ．    (B)  ．
(C)  ．          (D)  ．           [ C ]
分析  由分布函数的定义以及X和Y独立性，知随机变量 的分布函数为

例2.25（正态分布）  设随机变量 ，则随 的增大，概率
(A) 单调增大．  (B) 单调减小．  (C) 保持不变．  (D) 增减不定． [ C ]
分析  应选(C)．因为对于任意 和 ， 为常数：（查表）
．
例2.27（分布函数）  假设X是只有两个可能值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，且X和Y相互独立，则随机变量X+Y的分布函数
(A) 是阶梯函数．        (B) 恰好有一个间断点．
(C) 是连续函数．         (D) 恰好有两个间断点．               [ C ]
分析  (C)．事实上，设X的概率分布为： ；而Y的分布函数为 ．因为X和Y相互独立，故由全概率公式，有

由此可见X+Y是的分布函数是连续函数．
〖解答题〗
例2.30(分布函数)  一个正立方体容器盛有3/4的液体, 假设在其6个侧面（含上、下两个底面）的随机部位出现了一个小孔，液体经此小孔流出．求剩余液体液面的高度X的分布函数 ．
解  不妨假设正立方体容器的边长为１．引进事件： ，即事件A表示“小孔出现在容器的下底面”．由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见 ．
从而， ．对于任意x＜0，显然 ０；而 ．由于小孔出现的部位是随机性，可见对于任意 ，有

该式中4x表示容器的四个侧面x以下的总面积，而容器6个侧面的总面积为６．
对于任意x≥0.75，显然 ．于是，最后得

例2.31（分布函数）  假设一装置启动后无故障工作的时间 （小时）服从指数分布，平均无故障工作的时间为2百小时；每次启动（在无故障的情形下）只需工作10小时便自行关机．试求该装置每次启动无故障工作的时间Y的分布函数．
解  因 服从指数分布，且 (百小时)，故分布参数 =0.5，故 的分布函数为

易见， ．设 是Y的分布函数，则对于y<0， =0；对于y>0.1， =1；对于 ,有

于是， 的分布函数为

例2.33（有限几何分布）  设试验E是一伯努利试验，其成功的概率为p, 而失败的概率为q=1－p．现在将E独立地一次接一次地进行直到成功或完成n次试验为止，其中n≥2是给定的自然数．试求所作试验次数X的概率分布．
解  试验次数X是一随机变量．为求X的概率分布，引进事件： ={第j次试验成功}（j=1,2,…,n）．显然P( ) = p．而由于试验的独立性，知事件 …相互独立．
设试验进行到成功或n次为止，则X的可能值为1,2,…,n 且 ；对于2≤k≤n－1，

于是，X的概率分布为有限几何分布：
．
例2.35（泊松定理）  假设某自动生产线上产品的不合格品率为0.02，试求随意抽取的30件中，
(1) 不合格品不少于两件的概率 ；
(2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的概率 ．
解  以 表示抽到的30件产品中不合格品的件数，则 服从参数为（30，0.02）的二项分布：

1) 不合格品不少于两件的概率

2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率

例2.36（二项分布）  假设有10台设备，每台的可靠性（无故障工作的概率）为0.92，每台出现故障时需要由一人进行调整．问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？
解  由条件知每台设备出现故障的概率为0.08．以 表示10台设备中同时出现故障的台数，则 服从参数为（10，0.08）的二项分布．需要安排的值班人数k应满足条件： ．需要对不同的k进行试算．首先，设k=１和k＝２，相应得

因此，至少需要安排2个人值班．
例2.37（二项分布）  假设一部机器在一个工作日因故停用的概率为0.2．一周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3天及多于3天亏损2万元．求所创利润的概率分布．
解  设X——一周5个工作日停用的天数；Y——一周所创利润．X服从参数为(5,0.2)的二项分布．因此，有

一周所创利润Y是X的函数：
     ．
例2.38(二项分布)  某生产线平均每三分钟生产一件产品，假设不合格品率为0.01．问为使至少出现一件不合格品的概率超过95%最少需要多长时间？
解  设n——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n件产品中不合格品的件数 服从参数为（n，0.01）的二项分布；按题意，n应满足条件

于是，为至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要298.0729×3 895分，将近14小时55分．
例3.41（复合泊松分布）  假设一日内到过某商店的顾客数服从参数为 的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为 ．分别以 和 表示一日内到过该商店的顾客中购货和未购货的人数，分别求 和  的概率分布．
解  由条件知 + 是一日内到过该商店的顾客的人数，服从参数为 的泊松分布．设X——一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由条件知，在一日内有 个顾客到过该商店的条件下，购货人数的条件概率分布为

由全概率公式可见，对于m=0,1,2,…，有

于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数 服从参数为 的泊松分布．同理， 服从参数为 的泊松分布．
例2.44（随机质点流） 假设一商店每周（7天）平均售出56台电冰箱，其中因为质量问题要求返修的占5‰ ．试求一个季度（90天）售出的电冰箱中返修件数X的概率分布．
解  以 表示 =90天内售出的电冰箱台数．可以假设 服从参数为 的泊松分布．由条件知 =56，从而 =8（台）．这样， 服从参数为 =8t的泊松分布：
．
随机变量X的可能值为自然数m=0,1,2,…．记 ．由全概率公式，有

其中 ．因此返修件数X服从参数为3.6的泊松分布：
．
例2.47（正态分布）假设随机变量X服从正态分布 ，求满足 的常数a．
解  由条件知

其中 是标准正态分布函数．由熟知的事实 ，可见

例2.48（正态分布）  假设随机测量的误差 ，求在100次独立重复测量中，至少三次测量的绝对误差大于19.6的概率 的近似值．
解  由条件知 ．设 为100次独立重复测量中事件 出现的次数，则
．
易见 服从参数为(100 , 0.05)的二项分布，近似服从参数为5的泊松分布．因此

〖证明题〗
例2.52（分布函数）  设 和 都是随机变量的分布函数，a和b是非负常数且 ，证明 具有随机变量的分布函数的基本性质．
证明  只需验证 满足分布函数的三条基本性质．由条件知a和b非负且a+b =1．由于 和 都是分布函数，可见对于任意，有

对于任意实数 ，由于 ，可见

即 单调不减．由 和 的右连续性，可见 也右连续．最后，

于是 也是分布函数．
例2.53（分布函数）  假设随机变量X服从参数为 的指数分布， 是其分布函数，证明随机变量Y= 在区间(0,1)上服从均匀分布．
证明  指数分布函数为 设 为Y= 的分布函数．由于分布函数 的值域为(0,1)，可见当 时 ；当 时 ．设 ，有

于是， 是区间(0,1)上的均匀分布函数，从而Y= 在区间(0,1)上服从均匀分布．

haohao2046

接上原命题组概率负责人周概容老师2005考研概率讲义

三、多维随机变量的分布 (数学三、四)
      二维随机变量及其分布(数学一)

Ⅰ 考试大纲要求

㈠ 考试内容  [数学一]  二维随机变量及其概率分布  二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布  二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度  随机变量的独立性和不相关性  常用二维随机变量的分布  两个随机变量简单函数的分布
[数学三、四]  多维随机变量及其分布函数  二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布  二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度  随机变量的独立性和不相关性  常见二维随机变量的分布  两个及两个以上随机变量的函数的分布

㈡ 考试要求  联合分布函数；随机变量联合概率分布和联合概率密度；随机变量的独立性及不相关性；两个随机自变量的函数的概率分布．
1、理解二维随机变量的联合分布函数的基本概念和性质；离散型随机变量联合概率分布、边缘分布和条件分布；连续型随机变量联合概率密度、边缘密度和条件密度；会利用二维概率分布求有关事件的概率．
2、理解随机变量的独立性及不相关性的概念及其联系和区别，掌握随机变量独立的条件；
3、掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义；
4、掌握根据两个随机自变量的联合分布，求其较简单函数的分布的基本方法；会根据两个或多个独立随机变量的分布求其较简单函数的分布．


Ⅱ、考试内容提要

㈠ 离散型随机变量的联合概率分布  主要讨论两个离散型随机变量的联合分布，多个变量的的情形完全类似．
1、联合概率分布  设离散型随机变量 和 的一切可能的集合为 ，则 和 的联合概率分布表示为：
；                (3.1)
有时以列联表的形式表示
表3.1  离散型随机变量 和 的联合概率分布
                                 
                           
                      1
其中 ．
2、边缘概率分布  变量 和 的概率分布称做其联合分布的边缘分布：
             (3.2)
表3.1的左右两列恰好是其中一个变量的概率分布，上下两行恰好是另一个变量的概率分布．
3、条件分布  随机变量 在 条件下的条件概率分布为
    (3.3)
亦称“ 关于 的条件分布”．对于给定的 ，只要 ，条件分布就有定义，并且具有（无条件）概率分布的一切性质．

㈡ 连续型随机变量的联合分布  连续型随机变量的联合概率分布由联合密度表示．
1、联合密度  对于二连续型变量 和 ， 可视为平面上的点．对于平面上的任意区域G，称函数 为 的概率密度或 和 的联合（概率）密度，如果点 属于G的概率可以通过一个非负函数 的积分表示为
，             (3.4)
特别，对于矩形区域 ，如果
．          (3.5)
联合概率密度具有如下性质：
．             (3.6)
2、边缘密度  变量 和 的概率密度 和 可由其联合密度 表示为
，          (3.7)
称做联合密度 的边缘密度．
3、条件密度  对于任意 ，若 >0，则称
                 (3.8)
为 关于 的条件密度．同样可以定义 关于 的条件密度．由(3.8)，得密度乘法公式：
，              (3.9)

㈢ 联合分布函数  
1、定义  (1) 称 元函数
          (3.11)
为随机向量 的分布函数，或随机变量 的联合分布函数．
    (2) 随机变量 中每个变量的分布函数以及其中任意个变量的联合分布函数，称为 的边缘分布函数．
2、性质  以 和 的联合分布函数 为例[(1)～(4)是基本性质]．
(1) ０≤ ≤１，且对于每一自变量单调不减．
(2)  F(x, y)对于每一自变量右连续．
(3)  ， ．
(4) 对于任意实数 ，有

(5) 随机变量 和 的联合分布函数 ，完全决定每个随机变量的分布函数 和 （反之未必）：
．             (3.12)
(6) 连续型随机向量 的分布函数 可由联合密度 表示为
；           (3.13)
并且对于几乎一切 ，有
．
注意，联合分布函数完全决定随机变量的联合分布，但是它不便于描绘具体的随机变量，多用于一般性研究，况且很少联合分布函数有简单的数学表达式．实际中遇到的分布有离散型和连续型两大类，分别描绘离散型和连续型随机变量．

㈣ 随机变量的独立性
1、一般概念  (1) 称随机变量 为相互独立的，如果其联合分布函数
，           (3.14)
其中 是随机变量X k的分布函数．
(2) 称随机向量 与 为相互独立的，如果
   ．        (3.15)
(3) 称随机变量列 为相互独立的，如果对于任意 ，变量 相互独立．
2、离散型  称离散型变量 相互独立，若对于其一切可能值 ，有
．  (3.16)
3、连续型  连续型随机变量 相互独立，如果它们的联合密度等于各变量密度的乘积：
．           (3.17)
4、性质 (1) 若 相互独立，则其中任意 个随机变量也相互独立．
(2) 若随机变量 相互独立，则它们的函数也相互独立．
(3) 若两个随机变量独立，则一个关于另一个的条件分布就是其无条件分布．

㈤ 随机变量的相关性  
假设随机变量 和 的相关系数 存在．如果 = 0，则称 和 不相关，否则称 和 相关：若 > 0，则称 和 正相关；若 < 0，则称 和 负相关．
二独立随机变量一定不相关，但是两个不相关随机变量却未必独立．对于联合分布是二维正态分布的随机变量 和 ，“独立与不相关等价”．


㈥ 常见随机变量的联合分布
考试大纲要求掌握二维均匀分布和二维正态分布．
1、二维均匀分布　设G是平面区域， 表示区域G的面积．称随机变量 和 的联合分布为区域G上的均匀分布，如果其联合密度为
                (3.18)
若 是一个矩形区域，则 和 的联合密度为：
        (3.19)
二维均匀分布的边缘分布、条件分布以及数字特征，都与区域G的形状密切相关．例如，对于圆形区域 ， 和 的分布都不是均匀分布，而其中一个变量关于另一个变量的条件分布都是均匀分布．假如 是矩形，则 和 的分布，分别为区间 和 上的均匀分布．
2、二维正态分布  设 ，则二维正态密度
．      (3.20)
(1) 分布参数  设随机变量 和 联合概率分布是二维正态分布，其五个参数分别为： ，而 —— 和 的相关系数．
(2) 边缘分布  二维正态分布的两个边缘分布—— 的分布和 的分布都是正态分布： ， ．但逆命题不成立：即便 和 都服从正态分布，甚至 和 的相关系数等于0， 和 的联合分布也未必是二维正态分布．
(3) 性质  1) 若 和 的联合分布是二维正态分布，而 和 是不同为0的实数，则 服从正态分布：  ，
特别 ；
2) 若 和 的联合分布是二维正态分布，则相关系数 是 和 独立的充分和必要条件；换句话说，对于联合分布是二维正态分布的 和 ，独立与不相关等价．


㈦ 多个随机变量的函数的概率分布  
包括多个独立随机变量之最大值、最小值的分布及其联合分布等．两个随机变量之和、差、积、商的分布……离散型情形见具体例题．
设随机变量 和 的联合密度为 ．以 和 分别表示随机变量 和 的密度．当 和 独立时， ．
1、随机变量之和的密度  和 是连续型随机变量，其概率密度
．          (3.21)
2、随机变量之差的密度  差 是连续型随机变量，其概率密度
．                   (3.22)
3、随机变量之积的密度  积 是连续型随机变量，其概率密度
．              (3.23)
4、随机变量之商的密度  商 是连续型随机变量，其概率密度
．                 (3.24)


Ⅲ 典型例题分析
〖填空题〗
例3.1(加法公式) 设 ，  则 =                  ．
分析  引进事件： ，则
, ；

例3.9（边缘分布函数） 设随机变量 和 的联合分布函数为

则随机变量 的分布函数 为           ．
分析   是 的边缘分布函数： ．因此
  
例3.10（边缘密度）  随机向量( , )的概率密度

的两个边缘密度 为                   ．
分析  由边缘密度的公式，有

即 是标准正态密度．由对称性知 也是标准正态密度．
例3.11（联合概率分布） 设随机变量U在区间[－2,2]上服从均匀分布，而随机变量
        
则 和 的联合概率分布为           ．
分析  (1) 随机向量 有四个可能值： ．易见

例3.15(函数的分布)  设X1和X2独立， , ,
,

则 的概率分布为               ．
分析  显然 有0和1两个可能值
．
于是， 的概率分布是0-1分布：
．
例3.15（联合分布函数）设随机变量 和 的联合概率分布为
，
则其联合分布函数                          ．
答案   和 的联合分布函数为

〖选择题〗
3.19  设 和 独立，都服从同一0-1分布： ，则 =
(A) 0．       (B)  ．       (C)  ．        (D) 1．           [ B ]
分析  由全概率公式及 和 相互独立，知

例3.21  设随机变量 和 有相同的概率分布：
，
并且满足 ，则 等于
(A) 0．    (B) 0.25．    (C) 0.50．    (D) 1．             [ A ]
分析  应选(A)．利用列联表3.1，首先将 的分布和 的分布用黑体填入表3.4；由条件 ，可见 ．故 等于 ， , , 的概率为0，将0用黑体填入表3.4，则容易求出 和 的联合分布．



表3.2  例3.14中 和 的联合分布计算表
                                      Σ
             0       0.25          0 1/4        0          1/4  0       0.25          0        0.250.500.25
Σ        0.25       0.50         0.25        1

由 和 的联合分布可见
．
3.22  设独立 和 之和 + 与 和 服从同名概率分布，如果 和 都服从
(A) 均匀分布．         (B) 二项分布．  
(C) 指数分布．         (D) 泊松分布．                    [ D ]
分析　熟知，在所列的4个分布中，只有二独立泊松分布的变量之和仍然服从泊松分布．
例3.28  设随机变量 和 都服从正态分布，则
(A)  + 一定服从正态分布．  
(B)  和 不相关与独立等价．
(C) ( , )一定服从正态分布．  
(D) ( , )未必服从正态分布．　　　　　　　　　　　　　[ D ]
分析  (A) 不成立，例如，若 ，则 + ≡０不服从正态分布．(C)不成立，( , )不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．(B)也不成立．(D) 虽然随机变量 和 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故( , )未必服从正态分布．
〖解答题〗
例3.33（条件分布） 假设某地区一年内发生大暴雨的次数 和一般暴雨的次数 相互独立，且分别服从参数为 和 的泊松分布．在一年共发生了 次暴雨的条件下，试求大暴雨次数 的条件概率分布．
解  由条件知，一年共发生暴雨次数可以是任意自然数 ，有

对于任意自然数 ，有

于是，在“一年内共发生了 次暴雨”的条件下，大暴雨次数 的条件概率分布是参数为 的二项分布，其中
．
例3.34（联合分布）  设随机变量 相互独立有相同的概率分布：
．
求随机变量U和V的联合分布，其中

解   有4个可能值 ．记 ,则

例3.37 (联合分布)  假设随机变量 服从参数 的指数分布，随机变量
      
求 的概率分布．
解  随机变量Y的分布函数为

随机向量 有四个可能值： ， ， ， ．易见

例3.39 (独立与不相关)  假设 是以原点为心半径为 的圆形区域，而随机变量 和 的联合分布是在圆 上的均匀分布．
    (1) 由(3.19)知， 和 的联合密度为

由(3.10)知， 的密度 和 的密度 相应为
   
由于 ，可见随机变量 和 不独立．
(2) 证明 和 不相关，即 和 的相关系数 = 0．有
；
同理可得 ．因此，有

于是， 和 的相关系数 = 0．这样， 和 虽然不相关，但是不独立．
例3.40(独立与不相关的等价条件)  假设随机向量 的联合密度为
,
其中 和 都是二维正态分布密度：

(1) 求随机变量 和 概率密度 和 ；
(2) 求随机变量 和 的相关系数 ；
(3) 问随机变量 和 是否独立?为什么?
解  由 和 的表达式，可见其数学期望都是0，方差都是1，相关系数分别为1/3和－1/3．
(1) 熟知,二维正态分布密度的两个边缘密度都是正分布态密度, 因此 和 的边缘密度都是标准正态分布密度 ．由此可见

于是 和 概率密度 和 都是正态密度．
(2) 显然，EX=EY=0, DX=DY=1. 因此，由相关系数的定义，知

(3) 随机变量 和 不独立，因为显然  ．
例3.41(密度的乘法公式)  设随机变量X在区间 (1,3) 上服从均匀分布，而 在区间 ( ,2) 上服从均匀分布．试求：
(1)  随机变量 和 联合密度 ；
(2) 随机变量 的概率密度 ；
(3) ．
解  随机变量 的概率密度为 ；对于1< <2，随机变量 在 的条件下的条件概率密度

(1) 由密度的乘法公式(3.9)，得 和 联合密度 ：

(2) 随机变量 的概率密度 是联合密度 的边缘密度．当  1和  2时，显然 =0；对于 ，由(3.10)，有
．
于是，随机变量 的概率密度为

例3.42（概率密度）  向区域
上均匀地掷一随机点 ，求 ， 和 的概率密
度 和 ．
分析  易见，区域 是以(2,0)，
(0,2)，(－2,0)，(0,－2)为顶点的正方形，其面积为8
由于随机点． 在正方形上分布均匀，可见

正方形的4个边的方程依次为： ， ；随机变量 和 的概率密度 是 的边缘密度：

随机变量 的概率密度 ，是利用对称性直接写出的．
例3.43(函数的分布)  已知随机变量 独立同分布：
，    ．
试求行列式 的概率分布．
解  记 ， ，则 ．易见， 和 独立同分布：

随机变量 有－1，0和1等3个可能值；

例3.48(和的密度)  某商品一周的需求量 是随机变量，已知其概率密度为
假设各周的需求量相互独立，以 表示 周的总需求量，试求：
(1)  和 的概率密度 ；
(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度 ．
解  以 表示第 周的需求量，则 的概率密度均为
，
而 ， ．三周中周最大需求量为 ．
(1) 当 时显然 ；对于 由(3.22)式

于是，两周和三周的总需求量 和 的概率密度

(2) 设 是随机变量X的分布函数．由例3.45可见，连续三周中的周最大需求量 的分布函数为 ．于是，有


例3.49(积的密度)  假设 是一矩形；连续型随机向量 在矩形 上的密度为常数，而矩形 之外为0．求边长为X和Y的矩形面积 的分布．
解法1  随机向量 的密度概率为
      
设 是面积 的分布函数，则当  
时 =0；当 时 =1．对于 ，
曲线 将矩形 分为两部分（见插图）：曲线的上方 ,曲线的下方 ；曲线 与矩形上边的交点为 ．对于 ，有

最后，得 的概率密度

解法2  直接利用二随机变量之积的密度公式(3.23)．设 是面积 的概率密度．显然，当 和 时 =0．对于 ，由公式(3.24)，有
．
〖证明题〗
例3.51(独立性与相关性)  设X和Y相互独立都服从0-1分布： ，试证明 不相关，但是不独立．
证明  (1) 由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见

于是， 不相关．
(2) 现在证明 不独立．事实上，由

可见 和 不独立．
例3.54(独立性)  对于任意二事件 ，考虑二随机变量

试证明随机变量 独立的充分与必要条件，是事件 相互独立．
证法１  记 ，而 是 的相关系数．有

由于 =０与 =0等价，而由 ，可见， =0的充分与必要条件，是 ，即事件 相互独立．
证法２  易见，随机变量 都服从0-1分布并且

(1) 必要性．设随机变量 独立，则

从而，事件 相互独立．
(2) 充分性．设事件 独立，则 也都独立，因此

从而，随机变量 独立．

haohao2046

接上原命题组概率负责人周概容老师2005考研概率讲义

四、随机变量的数字特征

这一部分，"数学一"、"数学三"和"数学四"的考试大纲、内容和要求完全一致，．

Ⅰ　考试大纲要求

㈠ 考试内容  随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质  随机变量函数的数学期望  切比雪夫（Chebyshev）不等式  矩、协方差、相关系数及其性质
㈡ 考试要求
1、考试大纲要求理解随机变量的数字特征（数学期望、方差，标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征定义和基本性质计算具体分布的数字特征；掌握常用分布（二项分布、超几何分布、泊松分布、一维和二维均匀分布、指数分布、一维和二维正态分布）的数字特征（解题时可以直接利用这些数字特征）．
2、会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望．
3、理解有关数字特征的概率意义，例如，对于指数分布，"平均无故障工作的时间"或"平均等待时间"……可以理解为相应时间的数学期望．

Ⅱ 考试内容提要

㈠ 数学期望  表征随机变量取值的平均水平、"中心"位置或"集中"位置．
1、数学期望的定义  
(1) 定义  离散型和连续型随机变量X的数学期望定义为
                   (4.1)
其中Σ表示对X的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在．
(2) 随机变量的函数的数学期望  设 为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量 的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出 的概率分布再求其数学期望；对于二元函数 ，有类似的公式：
               (4.2a)
        (4.2b)
2、数学期望的性质  
(1) 对于任意常数c，有 ．
(2) 对于任意常数 ，有 ．
(3) 对于任意 ，有
．
(4) 如果 相互独立，则
．

㈡ 方差和标准差  表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征．
1、方差的定义  称

为随机变量X的方差，称 为随机变量X的标准差．随机变量X的方差有如下计算公式：
                 (4.3)
2、方差的性质  
(1)  ，并且 当且仅当 （以概率１）为常数；
(2) 对于任意实数 ，有 ；
(3) 若 两两独立或两两不相关，则
．

㈢ 协方差和相关系数  
考虑二维随机向量 ，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及 和 的联合数字特征--协方差和相关系数．
1、协方差和相关系数的定义  
(1) 协方差  随机变量 和 的协方差定义为
，        (4.4)
其中

(2) 相关系数  随机变量X和Y的相关系数定义为
．                  (4.5)
2、协方差的性质  设随机变量 和 的方差存在，则它们的协方差也存在．
(1) 若 和 独立，则 ；对于任意常数c，有 ．
(2)  ．
(3) 对于任意实数a和b，有 ．
(4) 对于任意随机变量 ，有

(5) 对于任意 和 ，有 ．
(6) 对于任意 和 ，有 ．
3、相关系数的性质  相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用．设 -- 和 的相关系数，
(1)  ．
(2) 若 和 相互独立，则 =0；但是，当 =0时 和 却未必独立．
(3)  的充分必要条件是 和 （以概率１）互为线性函数．
三条性质说明，随着变量 和 之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值 从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量．
4、随机变量的相关性  假设随机变量 和 的相关系数 存在．若 = 0，则称 和 不相关，否则称 和 相关．
(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；
(2) 若 和 的联合分布是二维正态分布，则它们"不相关"与"独立"等价．

㈣ 矩  在力学和物理学中用矩描绘质量的分布．概率统计中用矩描绘概率分布．常用的矩有两大类：原点矩和中心矩．数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩．
1、原点矩  对任意实数 ，称 为随机变量Ｘ的 阶原点矩，简称 阶矩． ．原点矩的计算公式为：
               (4.6)
2、中心矩  称 为随机变量Ｘ的 阶中心矩． ．
㈤ 切比雪夫（切贝绍夫）不等式  设随机变量 的数学期望 和方差 都存在，则对于任意 ，有
．                    (4.7)

Ⅲ 典型例题分析
〖填空题〗
例4.1（函数的方差）  已知随机变量 的分布函数为：

则 =                ．
分析  由分布函数，可得随机变量 的概率分布

例4.2（函数的期望）  设随机变量 分布函数为F(x)，则随机变量

的数学期望                   ．
分析  随机变量 只有 和1两个可能值．

例4.4（函数的期望） 设随机变量X服从参数为0.5的泊松分布，则随机变量 的数学期望 =                  ．
分析  事实上，有

例4.6（标准差）  假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差 =                ．
分析  由条件"无系统误差"知，测量误差 服从正态分布 ，因此
，
例4.8(方差)  设随机变量 和 独立同正态分布 ，则  =          ．
分析  易见， = 0， = 1，故 ～N(0,1)．因此，

例4.9  100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于            ．
分析 100次独立重复试验成功的次数X服从参数为 的二项分布．由于当p =0.5时， 取最大值．这时 ，可见标准差的最大值等于5．
例4.11（二项分布）  有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶．则变质饮料的瓶数 的概率分布是          ．
分析  假设总共有n瓶超过保质期的饮料，p是其中变质饮料的瓶数所占的比重．显然变质饮料的瓶数X服从参数为（n,p）的二项分布．现在求n和p．由条件知

例4.12（协方差）  假设随机变量 和 的方差都等于1， 和 的相关系数为0.25，则随机变量 和 的协方差为               ．
分析  已知  ．因此，有

〖选择题〗
例4.19  对于任意随机变量 和 ，如果 ，则
(A)  和 独立．          (B)  和 不独立．
(C)  ．       (D)  ．               [ D ]
分析  由 可见

例4.23  设X在区间[－1,1]上均匀分布，则 和 的相关系数等于
(A)   ．     (B) 0．      (C) 0.5．      (D) 1．              [ A ]
分析  由于 和 有明显的线性关系：
，
可见 和 相关系数 的绝对值等于1．因为 和 增减变化趋势恰好相反，所以立即可以断定 ．
例4.26  假设试验E以概率p成功，以概率 失败，分别以 和 表示在n次独立地重复试验中成功和失败的次数，则 和 的相关系数 等于
(A) ．     (B) 0．      (C) 1/2．      (D) 1．            [ A ]
分析  因为 + =n，即 和 互为线性函数，故 和 的相关系数 =±1．由于 =n－ ，可见 和 为负相关，故 ．
〖计算题〗
例4.29 (期望的应用)  自动生产线加工的零件的内径X(mm)服从正态分布 ，内径小于10或大于12mm的为不合格品，其余为合格品．每件产品的成本为10元,内径小于10mm的可再加工成合格品，尚需费用5元．全部合格品在市场上销售，每件合格品售价20元．问零件的平均内径 取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？
解  每件产品的销售利润L与自动生产线加工的零件的内径X(mm)有如下关系：


其中 是标准正态分布函数， --标准正态密度．因此，有

由此，可见当 mm时，平均利润最大．
例4.31（函数的期望） 假设某季节性商品，适时地售出1kg可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X（kg）是一随机变量，并且在区间 内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大？
解  根据条件随机变量X的概率密度为：

以表示 销售利润，它与季初应安排商品的数量h有关．由条件，知

为求使期望利润最大的h，我们计算销售利润 的数学期望．为此，首先注意到： ，销售利润 的数学期望为：

对求导并令其等于0，得


于是，季初安排 千克商品，可以使期望销售利润最大，
4.34（数学期望）  独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a．
解  (1) 以X表示试验的总次数，首先求X的概率分布．设 ={第k次试验成功}（k=1,2,…），则 ；X的概率分布为
，
其中 ．于是试验的总次数X服从参数为p的几何分布．
(2) 现在求试验的总费用的期望值a．由条件知，试验的总费用为

该项试验的总费用Y是一随机变量，其期望值为


；

例如，设p = 0.8, q = 0.2，得 12.498元；设p = q = 0.5，得 19.6875元；设p = 0.2, q = 0.8，得 41.808元；设p = 0.1, q = 0.9，得 70.4775元．
例4.35（变量和的期望）  假设n个信封内分别装有发给n个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X表示收到自己通知的人数，求X的数学期望和方差．
解  (1) 记 ={第k封信的地址与内容一致}．第k个人的通知随意装入n个信封中的一个信封，恰好装进写有其地址的信封的概率等于１/n，故 =１/n．同理
．
引进随机变量
(k=1,…,n)，
则 ．从而，有

(2) 对于任意 ，乘积 只有０和１两个可能值，且
  ．
因此，对于任意 ，有
．
(3) 最后求方差DX．

注  该题的解法具有典型性：求解时并没有直接利用X的概率分布，仅利用数学期望和方差的性质．当然，也可以先求X的概率分布，然后再根据定义求数学期望．然而,求概率分布需要相当繁杂的计算,并且由此概率分布求数学期望并非易事．
例4.38（函数的期望）  求 ，假设随机变量 服从柯西分布，其概率密度为
．
解  由于

可见

例4.39（数学期望） 假设一种电器设备的使用寿命X（单位：小时）是一随机变量，服从参数为 =0.01的指数分布．使用这种电器每小时的费用为C1=3元，当电器工作正常时每小时可获利润C2=10元．此设备由一名工人操作，每小时报酬为C3=4元，并且按约定操作时间为h小时支付报酬．问约定操作时间h为多少时，能使期望利润最大？
解  以Y表示销售利润，则由条件知

由条件知，随机变量X的分布函数和概率密度相应为
   和   ．
其中 ．期望销售利润为


．
将C1=3元，C2=10元．C3=4元，以及 =0.01代入，得 小时．
例4.41（最小值的期望）  一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障．假设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为１和0.5(千小时)，试求线路无故障工作时间X的数学期望．
解  设 是第i个中间站无故障工作时间，则 ．由条件知，可以认为 和 独立，E =1，E =1/0.5＝２；

解法１  根据（4.2b）式，有

解法２  先求X 的概率密度f(x)．X的分布函数为


因此，有

例4.42（最小值的期望）  设随机变量X和Y相互独立，并且都服从正态分布 ，求随机变量 的数学期望．
解  设 ， ，有
．
U和V服从标准正态分布 ，其联合密度为
．
因此根据(4.2b)式，有(见插图)

．
注  同样可以求得 ．
例4.44（方差）  假设随机向量 在以点 为顶点的三角形区域上服从均匀分布．试求随机变量Z=X+Y的方差．
解  区域 是以点 为顶点的三角形区域（见插图）．随机向量( X , Y )的概率密度为

解法1  首先求Z=X+Y的概率密度 ：显然当z<1或z>2时 =0；设 ，当0≤x≤1而且０≤z－x≤１（即z－1≤x≤１）时， =2，否则 =０，故有
．
因此
   
解法2  设 是X的概率密度．当x<0或x>1时 =0；当0≤x≤1时, 有
．
于是，随机变量X的概率密度为：


同理可得：EY=2/3，DY=1/18．现在求  ：

例4.45（相关系数）  假设随机变量X和Y的数学期望都等于１，方差都等于2, 其相关系数为0.25，求随机变量 和 的相关系数 ．
解  首先求U和V的数学期望和方差．
，
由条件知
，


．
注意到,  ，  , 有

从而，随机变量 和 的相关系数为
．
例4.47(相关系数)  假设随机变量 独立同分布，且方差存在．求随机变量
  和  
的相关系数 ．
解  记 ．由于 独立，可见( )和( )独立，以及( )和( )独立．因此

于是，由DU= DV=6b，可见
．
〖证明题〗
4.56（相关性和独立性）  对于任意二随机事件A和B，设随机变量
     
试证明"随机变量X和Y不相关" 当且仅当"事件A和B独立"．
证明  易见事件A和B独立当且仅当事件A与 独立．记
， ， ．
有
；   ．
现在求EXY．显然，XY只有1和－1两个可能值．

由此可见，随机变量X和Y不相关的充分和必要条件是，事件A和 独立，即
．
由独立事件的性质知，若事件A与 独立，则事件A与B也独立．从而随机变量X和Y不相关当且仅当事件A和 独立．

peter93126

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