新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材

243594780 · 发表于 2006-5-10 12:57:42

新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材
线性代数部分

前言
1．复习线性代数应该着重于概念部分
线性代数的特点：概念性强，它的许多概念和性质比较复杂和抽象，而计算题型不多，它们虽然计算量大，但是方法初等，技巧性差。
另一方面，考研命题的特点是综合，多变，追求新颖，因此题目的典型性淡化了，灵活性增加了。这个特点尤其在线性代数上反映得最明显。于是，在理论上提高自己，加深对概念的理解，拓宽解题思路，增强应变能力才是应对这样的考题的有效途径。
为此，我认为对线性代数的考前准备，自始至终都应该把加深理论的理解放在最重要的位置上。在现在的基础复习阶段更加应该这样做。重点放在帮助大家在理论上打好基础，并在此基础上改进解题方法。
2．怎样来复习概念？梳理，沟通，充实提高。
梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。
沟通：突出各部分内容间的联系。
充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。
大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。
3．对大家学习的建议
学习数学一定要自己动脑，动手。我们的课程比学校的课程是大大浓缩的，强度很大。要想收到好的效果不能只听，自己要花很大努力。
（1）有预习，最好先把过去学这门课时的教材和笔记看看。
（2）听课时着重于理解，不要只顾记笔记。在所发的讲义中，重要的内容都会写出的。
（3）最好能同步的复习，消化，做题。为此在相邻的两次课之间留有足够的时间。

第一讲  基本知识

一．线性方程组的基本概念

   与不一定相等。
两个研究目标：
（1）讨论解的情况
   （）
唯一解，无穷多解，无解
（2）求解，无穷多解时求通解。
齐次线性方程组：。
零解（）。
唯一解：即只有零解。
无穷多解：有非零解。

二．矩阵和向量

1．什么是矩阵和向量


系数矩阵
增广矩阵
   ，


2．线性运算与转置

①加（减）法 ②数乘


①
②
③
④
⑤ 或。
向量组的线性组合
   ，
   。
转置
   的转置（或）

   ，


   。

3．阶矩阵

   行、列的矩阵。
对角线，其上元素的行标、列标相等
对角矩阵
数量矩阵
单位矩阵
上（下）三角矩阵
对称矩阵。
反对称矩阵。

三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵

初等变换分
三类初等行变换
①交换两行的上下位置

②用非零常数乘某一行。
③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）
阶梯形矩阵

①如果有零行，则都在下面。
②各非零行的第一个非元素的列号自上而下严格单调上升。
或各行左边连续出现的的个数自上而下严格单调上升，直到全为。
台角：各非零行第一个非元素所在位置。
简单阶梯形矩阵：

3．台角位置的元素都为1

4．台角正上方的元素都为0。




每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。
如果是一个阶矩阵
   是阶梯形矩阵  是上三角矩阵，反之不一定，如
   是上三角，但非阶梯形

四．线性方程组的矩阵消元法
用同解变换化简方程再求解
三种同解变换：
①交换两个方程的上下位置。
②用一个非数乘某一个方程。
③把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。



   ，，，。
矩阵消元法：
①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。
②用判别解的情况。
i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。
ii）如果有解，记是的非零行数，则
   时唯一解。
   时无穷多解。
iii）唯一解求解的方法（初等变换法）
去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

则  都不为。
于是把化出的简单阶梯形矩阵应为
其方程为    即就是解。

第二讲  行列式

一．形式与意义


A是阶矩阵，表示相应的行列式。

二．定义（完全展开式）



一个阶行列式的值：
①是项的代数和
②每一项是个元素的乘积，它们共有项

其中是的一个全排列。
③ 前面乘的应为

   的逆序数

   ，



例1．
例2．


例3．
求中的和的系数

三．计算（化零降阶法）

余子式和代数余子式

称为的余子式。

定理：一个行列式的值等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。







命题：第三类初等变换保持行列式的值

化零降阶法
例4．求行列式的第四行各元素的余子式之和。

四．行列式的其它性质
1．转置值不变
2．用一个数乘某一行（列）的各元素值乘

3．行列式和求某一行（列）分解

   ，3阶矩阵







4．第一类初等变换使值变号
5．如果一个行列式某一行（列）的元素全为或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为。
6．一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为。
7．
8．范德蒙行列
         个
例5．设4阶矩阵，，已知，，求。

例6．
   ，，，

   即

五．元素有规律的行列式的计算

例7．
解：


例8．

例9．，求的条件

例10．

六．克莱姆法则

克莱姆法则：设线性方程组的系数矩阵是阶矩阵（即方程个数未知数个数），则
   时，方程组唯一解，此解为

   是的第列用代替后所得阶行列式：
   时，解如何？
即唯一解  ？
改进：唯一解
证明：


若，则 , ，故唯一解。
若唯一解，则有个非零行，且最下面的非零行不是于是，从而每。

求解方法：

   就是解。
对于齐次方程组只有零解。
问题：若齐次方程组的方程数，有无非零解？
例如
增加方程
例．
   ，，
例．
（1）有唯一解的充要条件是什么
（2）求解

第三讲  矩阵

一．矩阵的乘法

1．定义与规律

定义：设与是两个矩阵
如果的列数等于的行数，则可以乘，乘积也是一个矩阵，记作。
当是矩阵，是矩阵时，是矩阵。
   的位元素是的第行和的第列对应元素乘积之和。

遵循的规律
①线性性质
   ，


②结合律
③
与数的乘法的不同之处
无交换律
例如．，，
则，
无消去律
当时或
由和
由时（无左消去律）

2．阶矩阵的方幂与多项式

任何两个阶矩阵与可乘，并且仍是阶矩阵。
行列式性质：
   是阶矩阵
   ，


但是不一定成立！
设，
   是阶矩阵，规定

问题：数的乘法公式，因式分解等对矩阵是否仍成立？
   ？    ？
   ‖

障碍是交换性
当时，
一个矩阵的每个多项式可以因式分解，例如


3．乘积矩阵的列向量与行向量

（1）设矩阵，维列向量，则



应用于方程组

记是系数矩阵，，设，
则，
方程组的矩阵形式
   ，
方程组的向量形式

（2）设，
记，
则
或

于是
即的第个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。
类似地：的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。

例1．





对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量。
对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量。
于是，
   ，
两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘
对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂。

4．初等矩阵及其在乘法中的作用

对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。
共有3种初等矩阵
（1）：交换的第两行或交换的第两列
   ，
（2）：用数乘的第行或第列
   ，
（3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。
   ，
命题：初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵等同于对作一次相当的初等行（列）变换。




5．矩阵分解

例2．（05考题）3阶矩阵，
   ，求

当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时，可把分解为与一个矩阵的乘积。
例3．（05考题）设是3阶矩阵，是3个3维列向量。
   ，，
求作矩阵，使得

6．乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求的纵向分割与的横向分割一致。

两种常用的情况
（1）都分成4块
   ，
其中的列数和的行数相等，的列数和的行数相关。

（2）准对角矩阵


例4．，。，求。

对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。
于是

例5．（03）设维列向量，。规定，。已知，求。

例6．（03）已知，求


例7．，，求

例8．（99）设，求

二．矩阵方程与可逆矩阵

1．两类基本的矩阵方程

   若知道和，中的一个，求另一个，这是乘法的逆运算。
两类基本矩阵方程

都需求是方阵，且
例9．已知，，求，使得。
等式可恒等变形为

   ，
如果上有一列，记作，则是线性方程组。
现在有两列，则也应有两列，设
   ，
则
得  ，
   ，它们都是唯一解，从而唯一解。

（I）的解法：

（II）的解法，先化为。
   。
例10．求，使得，，。

2．可逆矩阵及其逆矩阵

当时，。
对两边乘，得。
①定义与意义
设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，且，则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，证作。
设可逆，则有消去律。
左消去律：。
右消去律：。
②可逆性的判别，逆矩阵的计算
定理：阶矩阵可逆
证明：“ ”
            。
      不为0，（且）。
“ ”要找，既是的解，又是的解。
   ，有唯一解，记作，也有唯一解，记作，则，。

   可逆，即的解。
求的方程（初等变换法）

推论设，是两个阶矩阵，则

例11．设，，，都是阶矩阵，满足

证明（1），，，都可逆，（2）求，。
解：（1）

   ，，，都不为0，因此，，，都可逆。
（2），
   ，即，。

③可逆矩阵的性质
i）当可逆时，
   也可逆，且。
   也可逆，且。
数，也可逆，。

   。
ii）设，是两个阶可逆矩阵，则也可逆，且。
当，都是阶矩阵时
   ，都可逆可逆
命题：初等矩阵都可逆，且



   。


命题：准对角矩阵  可逆
每个都可逆，记


3．伴随矩阵

每个阶矩阵都有伴随矩阵，证作。

伴随矩阵的基本性质：


当可逆时，

      得，
求逆矩阵的伴随矩阵法
当时：，
则

要证

得

伴随矩阵的其他性质
① ,
②
③ ,
④
⑤ ，
⑥ 。
   时，

关于矩阵右上肩记号：，，，*
i) 任何两个的次序可交换，
   如，
      等
ii)  ，

（但不一定成立！）
例12．，求
例13．（00）己知，求矩阵，使得 .

例14．己知  ， , 满足，求 .

例15．（05）三阶矩阵满足，并且，求

例16．（05）设是阶可逆矩阵，是交换的第1，2两行所得的矩阵，则
（A）交换的第1，2两行得。
（B）交换的第1，2两列得。
（C）交换的第1，2两行得。
（D）交换的第1，2两列得。

例17．（01）是3阶矩阵，是3维列向量，使得可逆，并且。
（1）求作矩阵，使得
（2）求

例18．阶矩阵满足
（1）证明可逆，并求。
（2）证明对任何有理数，可逆。

例19．设是两个阶对称矩阵，使得可逆，证明也是对称矩阵。

例20．设阶矩阵和满足等式， , 证明：
（1）和都可逆
（2）可逆  可逆
（3）

小结：
1．乘法的定义，与数的乘法的区别
2．在特殊情形下怎么快捷地求乘积矩阵
3．矩阵分解的概念
4．矩阵方程的初等变换法
5．可逆矩阵
   ，
第四讲  向量组的线性关系和秩

一．线性表示

1．可以用线性表示，即可以表示为的线性组合，也就是存在使得

记号：
例如
   有解
                     有解
   有解，即可用A的列向量组表示。
2．，即每个
如果，，
则。
如果，则存在矩阵，使得

例如，，，则

线性表示关系有传递性，即当
   ，
则。
3．等价关系：如果与互相可表示

就称它们等价，记作。

二．线性相关性

1．定义与意义

考察的内在线性表示关系
   ，，，
线性相关：存在向量可用其它向量线性表示。
线性无关：每个向量都不能用其它向量线性表示
定义：如果存在不全为的，使得
，
则称线性相关，否则称线性无关。
例如，则，
               。
   线性无关，即当时必存。
   线性相（无）关有（无）非零解
有（无）非零解
   ，即单个向量，
   相关
   ，相关对应分量成比例
，
   相关

2．性质

①如果向量个数二维数，则线性相（无）关
   ，有非零解
如果，则一定相关。
   的方程个数未知数个数
②如果无关，则它的每一个部分组都无关。
例如若无关，则一定无关。
③如果无关，而相关，则

设不全为0，使得
则其中，否则不全为0，，与条件无关矛盾。于是。
④当时，表示方式唯一无关，
                     （表示方式不唯一相关）
⑤若，并且，则一定线性相关。
记，，则存在矩阵，使得
   。
   有个方程，个未知数，，有非零解，。
则，即也是的非零解，从而线性相关。
各性质的逆否形式
①如果无关，则。
②如果有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果无关，而，则无关。
⑤如果，无关，则。
推论：若两个无关向量组与等价，则。
例1．（05）已知，，，线性相关，并且，求。

例2．设线性无关，而线性相关。
则
（A）线性相关。
（B）线性无关。
（C）线性相关。
（D）线性无关。


三．极大无关组和秩

   可以有多大的线性无关的部分组？
   ，，
   ，，，

1．定义

   的一个部分组称为它的一个极大无关组，如果满足：
i）线性无关。
ii）再扩大就相关。

规定的秩。
如果每个元素都是零向量，则规定其秩为。

讨论：设
① 相关无关？
② 相关无关？
结论：一个线性无关部分组，若等于秩，就一定是极大无关组。

2．性质（应用）

① 无关  。
②
取的一个极大无关组
   也是的极大无关组  相关。
   相关。

③ 可用唯一表示
④

⑤

向量组的秩的计算方法：
   阶梯形矩阵
   的非零行数。
例3．（95）已知，，求 .

例4．已知。证明：
（1） ; （2） .
例5．设
（1）为何值时，可用唯一表示？
（2）为何值时，可用表示，且表示方式不唯一？
（3）为何值时，不可用表示？
解：比较和



（1）时，唯一表示。
（2）时，，无穷多表示。
（3）时，，不可表示。
例5．（05）。
         。
求，使得，但是。
   例6．（00），
已知，，求。

3．有相同线性关系的向量组

两个向量若有相同个数的向量：，并且向量方程
   与同解，则称它们有相同的线性关系。
①对应的部分组有一致的相关性。
   的对应部分组，
若相关，有不全为的使得
   ，
即是的解，
从而也是的解，则有
   ，
   也相关。
②极大无关组相对应，从而秩相等。
③有一致的内在线表示关系。
如。
设：，，则
   即  ，
   即  。
   与有相同的线性关系即与同解。
反之，当与同解时，和的列向量组有相同的线性关系。
例7．设，，，，。
（1）求，找出一个极大无关组，并把其它向量用此极大无关组线性表示。
（2）判断下列部分组中哪几个是极大无关组
①          ②
③          ④

四．矩阵的秩

1．定义

   是矩阵
定理：矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩。
规定行（列）向量组的秩。

   的行秩= 的行秩

   的列秩= 的列秩
   的计算：用初等变换化为阶梯形矩阵，则的非零行数即。
命题：的非零子式阶数的最大值。


2．矩阵的秩的简单性质



   行满秩：
   列满秩：
   阶矩阵满秩：
   满秩的行（列）向量组线性无关

         可逆
         只有零解，唯一解。

3．矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩
①
② 时，
③
④

⑤ 可逆时，
   可逆时，

   ，
⑥若，则（的列数，的行数）
⑦ 列满秩时
   行满秩时
⑧
例8．设是矩阵，证明：
   存在非零向量和，使得。

例9．是阶矩阵 ,
证：

例10．阶矩阵，，求。

例11．，，求满足的条件。

例12．3阶矩阵，，，，求和。


例13．设，，无关，则（）也线性无关。
（A），，。
（B），，。
（C），，。
（D），，。

例15．（04）是两个非零矩阵，，则
（A）的列向量组线性相关，的行向量组线性相关。
（B）的列向量组线性相关，的列向量组线性相关。
（C）的行向量组线性相关，的行向量组线性相关。
（D）的行向量组线性相关，的列向量组线性相关。


例16．证明：维向量组的秩为  任何维向量都可用线性表示。

例17．证明 .

例18．证明 .

第五讲  线性方程组

一．方程组的表达形式

1．
2．
   是解
3．
有解

二．解的性质

1．的解的性质。
如果是一组解，则它们的任意线性组合一定也是解。

2．
①如果是的一组解，则
   也是的解
   是的解



当是的两个解时，是的解
②如果是的解，则维向量也是的解是的解。
三．解的情况判别

   ，即
有解


无解
唯一解
无穷多解
方程个数：

①当时，，有解
②当时，，不会是唯一解
对于齐次线性方程组，
只有零解（即列满秩）
（有非零解）
推论1  如果列满秩，则有左消去律，即
①
②
证：①记，则，即对每个，，即是的解。只有零解，故。
② ，。
推论2  如果列满秩，则
证：下面证与同解。
   是的解
                  是的解
例1．（01）已知有无穷多解，求。

例2．是矩阵，是矩阵，则
（A）时仅有零解    （B）时必有非零解
（C）时仅有零解    （D）时必有非零解

四．基础解系和通解

1．有非零解时的基础解系

记是的全部解的集合。
称的极大无关组为的基础解系。
   是的基础解系的条件：
①每个都是的解
② 线性无关
③ 的每个解
定理：

         阶梯形矩阵
         的非零行数
         有个方程（除去），因此有个自由未知量。
于是是的基础解系的条件③可换为
③/
例3．（92）当 ______时，和构成的基础解系。
（A）（B）（C）（D）

例4．的一个基础解系为
（A）                   （B），
（C），       （D），

例5．，构成的基础解系
求，，，


证明：当时， .
证：记
      每个都是的解



2．通解

①如果是的一个基础解系，则的通解为
   ，任意
②如果是的一个解，是的基础解系，则的通解为
   ，任意
例6．求的通解
解：①用初等行变换把系数矩阵化为简单阶梯形矩阵

②确定自由未知量写出同解方程组


③对自由未知量赋值，求出基础解系
   ，，
④写出通解为
   ，任意
例7．求的通解

例8．（96）方程组的增广矩阵

讨论，的取值与解的情况的关系，有无穷多解时求通解。

关于求通解的一组例题

例9．（04）已知是方程组
   的一个解。
（1）用导出组的基础解系表示此方程组的通解。
（2）写出满足的全部解。
解：把代入第1个方程（或第3个方程）得出。
（1）特解已有，只用求导出组的基础解系。

①当时

求出的基础解系
   ，
通解为  ，，任意
②若，则

   是的基础解系
通解为：，任意。
（2）① 时，通解中，

于是当取时，。
满足的通解为
   ，任意
即  ，任意。
② 时，通解中，。

此时只有一个解：
例10．（02）设的系数矩阵，其中线性无关，，，求通解。

例11．已知，都是方程组的解，求通解

例12．（05）设是阶矩阵，第一个行向量为，它不为零向量。
   ，已知，求的通解。

关于两个方程组的关系的一组例题

例13．（I）和（II）是两个4元齐次方程组。
（I）：
（II）有基础解系，。
求（I）与（II）的全部公共解


例14．两个4元齐次方程组（I），（II）分别有基础解系
（I）：，，
（II）：，
求（I）与（II）的公共解。

例15．（05）齐次方程组
（I）与（II）同解。
求。

第六讲  特征向量与特征值，相似与对角化

一．特征向量与特征值

设是阶矩阵，是维非零列向量，与是否相关？
例如：，，，，
   ，，，
1．定义：如果，并且与线性相关，则称是的一个特征向量。此时，有数，使得，称为的特征值。
设是数量矩阵，则对每个维列向量，，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。
例1．设，，满足什么条件时是的特征向量？

答：而，特征值为1；
   或，特征值为2。

例2．（97）已知是的特征向量，求和的特征值。

例3．（97）已知，，都是3阶矩阵的特征向量，特征值依次为1，2，3，求。
解：，，




当是的特征值时，常常说是属于的特征向量。
①特征值有限
特征向量无穷多
若，

②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。
③计算时先求特征值，后求特征向量。

2．计算

   阶矩阵，求的特征向量与特征值


   是的非零解
命题：① 是的特征值
② 是属于的特征向量是的非零解
称多项式为的特征多项式。
   是的特征值是的特征多项式的根。
   的重数：作为的根的重数。
   阶矩阵的特征值有个：，可能其中有的不是实数，有的是多重的。
计算步骤：
①求出特征多项式。
②求的根，得特征值。
③对每个特征值，求的非零解，得属于的特征向量。
复杂，困难，不作一般的要求。
两种特殊情形：
（1）是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。


（2）时：的特征值为

3．特征值的性质

命题：阶矩阵的特征值的重数
命题：设的特征值为，则
①
②

比较两边的常数项部分得①
比较两边的的系数得②：右边为左边会的项且有，其系数为
例4：设，求的特征值的特征向量

4．与相关的矩阵的特征向量与特征值

命题：设是的特征向量，特征值为，即，则
①对于的每个多项式，
例如：


②当可逆时，，

   。
命题：设的特征值为，则
① 的特征值为
② 可逆时，的特征值为
               的特征值为
③ 的特征值也是
   。
例5．阶矩阵
求的特征值。

例6．求和的特征值。

5．特征值的应用

①求行列式
②判别可逆性
   是的特征值不可逆
   可逆不是的特征值。
当时，如果，则可逆
若是的特征值，则是的特征值。
   不是的特征值可逆。
例7．，取何值时。

例8．，，，求。


例9．阶矩阵满足。证明
（1）可逆。
（2）可逆。

二．n阶矩阵的相似关系

设，是两个阶矩阵。如果存在阶可逆矩阵，使得，则称与相似，记作。
当时，，而时，。
相似关系有i）对称性：
      ，则
ii）有传递性：，，则
      ，，则

命题  当时，和有许多相同的性质
①

②
③ ，的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

   与的特征向量的关系：是的属于的特征向量是的属于的特征向量。

例10．（03）
   ，，。求的特征值与特征向量。
解：（1）先求特征值

   的特征值为
   的特征值为
   的特征值为
   的特征值为
   的特征向量和的特征向量的关系：
   是的属于1的特征向量，即



      是的属于9的特征向量
   的属于的特征向量是的非零解，求出的基础解系，，则
   的属于1的全部特征向量的集合
记，，则的属于9的全部特征向量的集合为。
   的属于7的特征向量的集合= ，。
记，则的属于3的特征向量为。
   ，，的计算：用矩阵方程求解：

   ，，

三．n阶矩阵的对角化

   是否相似于一个对角矩阵？
不是每个矩阵都相似于对角矩阵的，例如。若，则，则。
基本问题
①判别阶矩阵是否相似于对角矩阵（可对角化）
②实现问题，构造可逆矩阵，使是对角矩阵
基本定理  可对角化  有个线性无关的特征向量。
设可逆矩阵，则


   ，
判别法则
   可对角化对于的每个特征值，的重数。
当是一重特征值时，重数一定成立。只须对重数的特征值检查。
推论：如果有个不同的特征值，则一定可对角化。对角化的实现（可逆矩阵的构造）：
对每个特征值，求出的一个基础解系，把它们合在一起，得到个线性无关的特征向量，。令，则
   ，其中为的特征值。
例如：是6阶矩阵，有3个特征值（二重），（三重），（一重），求出是的基础解系。
   是的基础解系。
   是的基础解系。


例11．（04）有一个二重特征值，求，并判断可否对角化。


例12．（05）是3阶矩阵，是线性无关的3维列向量组，
   ，，
（1）求作，使得

（2）求的特征值。
（3）作可逆矩阵，使得是对角矩阵。

第七讲  二次型（实二次型）

一．基本概念

1．二次型及其矩阵

二次型是多个变量的二次齐次多项式函数。如
   是一个三元二次型，它的每一项都是二次，或是一个变量的平方，称为平方项或是两个不同变量的乘积，称为交叉项。
一个元二次型的一般形式为

只有平方项的二次型称为标准二次型。
形如：的元二次型称为规范二次型。
对每个阶实矩阵，记，则是一个二次型。
例如时，，则



其中平方项的系数都是的对角线上的元素，而交叉项的系数是。
我们可利用矩阵的形式来写出一个二次型，如把

写成的形式，的对角线上的元素是确定的，依次为，，，但对角线外的元素不是唯一确定的，只要满足。
   ，，，就可以。
我们要求是一个对称矩阵，则它就是唯一确定的了。
称这个实对称矩阵为该二次型的矩阵。

称的秩为这个二次型的秩。
标准二次型的矩阵是对角矩阵。
规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。


2．可逆线性变量替换

椭圆方程
设有一个元二次型，引进新的一组变量，并把用它们表示。

（并要求矩阵是可逆矩阵）
代入，得到的一个二次型这样的操作称为对作了一次可逆线性变量替换。
设，则上面的变换式可写成

则
于是的矩阵为


3．实对称矩阵的合同

两个阶实对称矩阵和，如果存在阶实可逆矩阵，值得。称与合同，记作。
命题：二次型可用可逆线性变换替换化为


二．二次型的标准化和规范化

1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。

也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。
设是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得是对角矩阵。

   ，

2．标准化和规范化的方法

①正交变换法
例1．（03），，它的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为。
（1）求。
（2）求作正交变换，把化为标准二次型
解：（1）
   ，
   ，

（2）求的特征值

   的特征值为2（二重）和（一重）
求属于2的单位正交特征向量组，即的单位正交基础解为

   的一个基础解系
正交化
求属于的单位特征向量

   单位化
作
则
作正交变换，则它把化为。
用正交变换法一般只能把二次型标准化，因为的对角线上元素就是的特征值，它一般不是规范对角矩阵。
② 配方法
例2．作可逆线性变量替换，化下列二次型为规范二次型
（1）
（2）

3．惯性定理与惯性指数

定理  一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。
一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。
用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵会同于唯一规范对角矩阵。
二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。
实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。
例3．（01）设是可逆实对称矩阵，记是它的经元素的代数余子式，二次型

（1）求出的矩阵。
（2）的规范形与的规范形是否相同？

例4．（01），，则
（A）与即会同又相似
（B）与会同但不相似
（C）与不会同但相似
（D）与既不会同，又不相似

例5．（05）已知二次型的秩为2。
（1）求。
（2）求作正交变换，把化为标准形。
（3）求的解。
解：（1）写出的矩阵
由，，求出，

（2）求出的特征值。
求属于2的特征向量：

   ，是属于2的两个特征向量，它们已经是正交的。单位化得

求出属于0的特征向量
   ，，
单位化
作，
则
于是作正交变换，可把化为
（3）
则
求出通解为：，任意。
例6．（96）已知3是的特征值。
（1）求。
（2）求作可逆矩阵，使得是对角矩阵。


三．正定二次型与正定矩阵

1．定义

一个二次型称为正定二次型，如果当不全为0时，。
例如，标准二次型正定，
（必要性“ ”，取，，此时同样可证每个）
实对称矩阵正定即二次型正定，也就是：当时，。
例如实对角矩阵正定，

2．性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性。
   变为，则它们同时正定或同时不正定。
   ，则，同时正定，同时不正定。
例如。如果正定，则对每个

（可逆，，！）
我们给出关于正定的以下性质。
   正定
         存在实可逆矩阵，。
         的正惯性指数。
         的特征值全大于。
         的每个顺序主子式全大于。
设是一个阶矩阵，记是的西北角的阶小方阵，称为的第个顺序主子式（或阶顺序主子式）。
判断正定的三种方法：
①顺序主子式法。
②特征值法。
③定义法。
例7．二次型在满足什么条件时正定？

例8．（98），。
（1）求作对角矩阵，使得。
（2）满足什么条件时正定？


例9．（02）已知阶矩阵是实对称矩阵，满足，并且。
（1）求的特征值。
（2）满足什么条件时正定？

例10．设，是两个阶正定矩阵，证明也正定。

例11．设是阶正定矩阵，是实矩阵，证明是正定矩阵。

。
例12．（00）二次型
   满足什么条件时二次型正定？


例13．（05）设是正定矩阵，其中，分别是，阶矩阵，记
（1）求。
（2）判断：是否正定？


附录一  内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化

以下谈到的向量，矩阵都是在实数的范围中心，而向量的分量都是实数，矩阵的元素也都是实数。

一．向量的内积

1．定义

两个维实向量的内积是一个数，记作，规定为它们对应分量乘积之和。
设，则



2．性质

①对称性：
②双线性性质：


③正交性：，且


3．长度与正交

向量的长度


单位向量：长度为的向量
   ，，，
若，则是单位向量，称为的单位化。

两个向量如果内积为0：，称它们是正交的。
如果维向量组两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。
例1．如果向量组两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。
证：记，则

则即。

例2．若是一个实的矩阵，则。


二．正交矩阵

一个实阶矩阵如果满足，就称为正交矩阵。

定理是正交矩阵的行向量组是单位正交向量组。
   的列向量组是单位正交向量组。
证：设，则

于是是单位正交向量组。
例如，
   ，
   都是2阶正交矩阵。
例3．正交矩阵保持内积，即


证：
例4．（04）是3阶正交矩阵，并且，求的解。

三．施密特正交化方法

这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。


设线性无关
①正交化：令

（设，
当时，正交。）

②单位化：令，，
则是与等价的单位正交向量组。

四．实对称矩阵的对角化

设是一个实的对称矩阵，则
① 的每个特征值都是实数。
②对每个特征值，重数。即可以对角化。
③属于不同特征值的特征向量互相正交。
于是：存在正交矩阵，使得是对角矩阵。
对每个特征值，找的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。
设是阶的有个特征值（二重），（三重），（一重）
找的个单位正交特征向量。
找的个单位正交特征向量。
找的一个单位特征向量。

例5．（04）是阶实对称矩阵，，是它的一个二重特征值，
   ，和都是属于的特征向量。
（1）求的另一个特征值。
（2）求。
解：（1）另一个特征值为。
   （2）设是属于的特征向量，则

此方程组，，，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。
于是，每个非零解都是属于的特征向量。
      是一个解。




附录二  向量空间

1．维向量空间及其子空间

记为由全部维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为维向量空间。
设是的一个子集，如果它满足
（1）当都属于时，也属于。
（2）对的每个元素和任何实数，也在中。
则称为的一个子空间。
例如元齐次方程组的全部解构成的一个子空间，称为的解空间。
但是非齐次方程组的全部解则不构成的子空间。
对于中的一组元素，记它们的全部线性组合的集合为
   ，它也是的一个子空间。

2．基，维数，坐标

设是的一个非子空间（即它含有非元素），称的秩为其维数，记作。
称的排了次序的极大无关组为的基。
例如的解空间的维数为，它的每个有序的基础解系构成基。
又如，的每个有序的极大无关组构成基。
设是的一个基，则的每个元素都可以用唯一线性表示：

称其中的系数为关于基的坐标，它是一个维向量。
坐标有线性性质：
（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：
如果向量和关于基的坐标分别为和，则关于基的坐标为

（2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数：
如果向量关于基的坐标为，则关于基的坐标为。
坐标的意义：设中的一个向量组关于基的坐标依次为，则和有相同的线性关系。
于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。

3．过渡矩阵，坐标变换公式

设和都是的一个基，并设在中的坐标为，构造矩阵
   ，
称为到的过渡矩阵。
   。
如果中向量在其和中的坐标分别为
   和，则


于是关系式：

称为坐标变换公式。

4．规范正交基

如果的一基是单位正交向量组，则称为规范正交基。
两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。
设的坐标为，的坐标为，
则
两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。