2010年考研数学线代部分学习指导

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以下由万学海文提供
2010年考研数学线代部分学习指导

2010年的考研复习已经进入最关键的时期了，也就是所谓的强化阶段。数学科目尤其是数学中的线性代数部分，复习起来确实有一定的难度。为了帮助考生有效地进行考研复习，今天我们就由万学?海文数学教研组的老师们根据10年的考研大纲，有针对性地为考生提出线性代数的复习建议。
2010年的考研数学大纲与2010年的大纲没有变化，甚至近几年的考研大纲中线性代数的内容和要求基本都保持不变。而考研数学中，线性代数课程特点比较鲜明：概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系。因此，考生应该充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，善于建立知识点之间的联系，使所学知识能融会贯通，举一反三。
以下是线性代数复习中的几条建议：
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算
基本概念、基本理论和基本方法一直是考研数学的重点，线性代数更是如此。从多年的阅卷情况和经验看，有些考生对基本概念掌握不够牢固，理解不够透彻，在答题中对基本性质的应用不知如何下手，因此，造成许多不应该的失分现象。所以，考生在复习中一定要重视基本概念、基本性质和基本方法的理解与掌握，多做一些基本题来巩固基本知识。切忌浮躁，不要认为题型很基础，方法很简单就只是看看。要知道眼过千遍不如手过一遍，勤以练习才是硬道理。
二、加强综合能力的训练，培养分析问题和解决问题的能力
从近十年特别是近两年的研究生入学考试试题看，加强了对考生分析问题和解决问题能力的考核。在线性代数的两个大题中，基本上都是多个知识点的综合。从而达到对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考核。因此，在打好基础的同时，通过做一些综合性较强的习题(特别是硕士研究生入学考试的历年真题)，边做边总结，以加深对概念、性质内涵的理解和应用方法的掌握。
三、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
线性代数的内容不多，但基本概念和性质较多。他们之间的联系也比较多，特别要根据每年线性代数考试的两个大题内容，找出所涉及到的概念与方法之间的联系与区别。例如：向量组的秩与他们所对应的矩阵秩之间的关系；向量的线性表示与非齐次线性方程组解的讨论之间的联系；向量的线性相关(无关)与齐次线性方程组有非零解(仅有零解)的讨论之间的联系；实对称阵的对角化与实二次型化标准型之间的联系等等。掌握他们之间的联系与区别，对大家做线性代数的小题和两个大题在解题思路和方法上会有很大的帮助。一方面，它可以使我们再结果问题过程中寻找捷径。另一方面，知识点之间的内在衔接也是为我们寻找答题的突破口。

　　四、持之以恒直到成功
人们常说：“十年寒窗无人问，一举成名天下知。”考研备考的过程也是一个比较长学习过程，这是对耐力和毅力的考验。要相信：当量的积累达到一定成度时，必然会有质的飞跃。天道酬勤这个道理也许人人都懂，关键看你是否付之行动。有时候同学可能只是是把美好的计划和愿望停留在意识上，仅仅是想想，而没有脚踏实地的行动，那么你渴望的成功也许也仅仅是梦里看花、水中捞月。所以一定要通过努力，让你的梦想唾手可得！下面我将根据具体的线代知识特点加以分析。

线代部分知识点的复习攻略：

　　1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质．其中行列式的重点是计算，所以应利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
　　2、矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是运用矩阵的性质对抽象矩阵进行运算，二是具体矩阵的数值运算。
　　3、关于向量，证明(或判别)向量组的线性相关(无关)，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关(无关)的概念及几个相关定理的掌握，一定要记住线性无关和相关的定义和那些重要定理，建议最好可以自己根据定义证明一下这些定理，以便更好的寻找他们他们的区别和联系进而加以记忆。值得一提的是这部分的证明题，我们有时会采用反正法可能会更准确的说明问题。
此外，向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。
4、对于线性方程组这部分知识，重点是根据齐次（非其次）线性方程组解的结构、通解和相应的性质，判定方程组解的存在性并会用克莱姆法则或初等行变换等来求线性方程组的解．
　　5、关于特征值和特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围)，可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用；二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量，从而确定出A；三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An。
6、将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有一下几个个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法)，在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。
　7、在Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。
　　8、I A的列(行)向量组是Rn的一个基 A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的。
根据考试中心数学考试分析中根据阅卷情况对考生提出的思考和建议，我们再次强调注重数学基础，基本功一定要扎实。避免在答题过程中出现一些低级的错误，对于一些考生在复习时过分追求难题，而对基本概念，基本方法和基本性质重视不够，投入不足这些问题，希望同学能调整好心态，不要浮躁，踏踏实实一步一个脚印的复习。要认真做一些基础题，理解性的记忆相应的基础知识，要养成思考的习惯，在做题时要前瞻顾后，充分利用已知条件和结果给出的信息。善于建议他们之间的联系！还有一个方法，就是做一个自己的错题集，经常拿出来看，就会对自己的缺点和薄弱环节了如指掌，因此就不会在同一个地方再跌跟头了。最后，祝10年的考研的同学金榜题名！